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第三部分：变量与函数
第一章 一次函数
考点一、平面直角坐标系
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
点的坐标用（，）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（，）和（，）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
2、坐标轴上的点的特征
（1）点P(，)在x轴上，x为任意实数
（2）点P(，)在轴上，为任意实数
（3）点P(，)既在x轴上，又在轴上x，同时为零，即点P为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
（1）点P(，)在第一、三象限夹角平分线上x与相等，即直线表达式为：
（2）点P(，)在第二、四象限夹角平分线上x与互为相反数，即直线表达式为：
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
（1）位于平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同。
（2）位于平行于轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征，点P坐标为（，）
（1）点P与点P’关于轴对称点P’坐标为（，）
（2）点P与点P’关于轴对称点P’坐标为（，）
（3）点P与点P’关于原点对称，即关于原点中心对称点P’坐标为（，）
6、点P(，)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(，)到x轴的距离等于
（2）点P(，)到y轴的距离等于
（3）点P(，)到原点的距离等于
补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为
考点三、函数及其相关概念
1、变量与常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（，是常数，），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像：一次函数的图像都是一条直线；
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
、的符号
函数图像
图像的位置
性质
经过一、二、三象限
随x的增大而增大。
经过一、三、四象限，
随x的增大而增大。
经过一、二、四象限，
随x的增大而减小
经过二、三、四象限，
随x的增大而减小。
特别说明：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数和一次函数解析式的确定：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
第二章 反比例函数
考点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量，函数，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
O x
y
O x
性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y
随x 的增大而减小。
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
随x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。
。
第三章 二次函数
考点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法：五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值
1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
2、二次函数中，的含义：
决定了抛物线的形状和开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
决定了抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
2、函数平移规律：
对于二次函数的一般式和交点式，经由如何平移得到时，需要先都化成顶点式，吗，然后利用“左加右减、上加下减”来进行判断。
考点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大，简记“左减右增”；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小，简记“左增右减”；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
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