三角形的中位线定理.docx

19.2(4) 三角形的中位线
桃花初级中学 柏运兰
教学目标：
1、知识与能力：理解三角形中位线的概念，掌握它的性质。能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算。
2、过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力，感悟几何学的推理方法。
3、情感态度价值观：培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。
学情分析： 学生已经学习掌握平行四边形的性质和判定，了解平行线等分线段的性质。在此基础上学习掌握三角形中位线定理难度不是很大。
重点：掌握和运用三角形中位线的性质。
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）。
一、复习导入
1、问题：一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么，它在其它直线上截得的线段之间有何关系？（学生结合图形，用符合语言写出上面真命题的题设和结论。一人板演。）
2、几何画板演示上面问题的特例：经过三角形一边中点，并且平行另一边的直线平分第三边。
3、学生阅读教材，了解三角形中位线的意义。（体会从一般到特殊的思想方法）
二、合作探究，学习新知
1、三角形中位线定义
① 学生叙述定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（中点---中点）.
② 理解定义，并与三角形中线比较：
一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？
2、三角形中位线的性质
观察、折叠、猜想：
问题：三角形的中位线DE与BC有什么样的位置关系和数量关系呢？

学生取三角形纸片折叠，指名演示折叠过程（度量取中点或对折确定中点），度量结果及自己的猜想。
学生猜想：
尝试证明（两名同学板演，要求两人尽可能采用不同证明方法。）
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法一

作
则点、F分别是AC、BC的中点，所以点与E重合
DE//BC
四边形DECF是平行四边形
DE=FC
又因为FC=
DE=
（这里直接运用了三角形中位线的判定，作平行证重合的方法比较独特。）
方法二

如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同，均为构造全等三角形进而得到平行四边形。）
方法三
如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（此法主要是构造两个平行四边形。）
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三、运用新知，解决问题
例.△ABC中，DE、EF、DF是三条中位线，仔细观察图形，你有何发现？

神奇的图形：

学生思考、讨论，得到结论：
1、图中的四个小三角形全等，且每个小三角形的周长等于大三角形的一半；
2、图中有三个平行四边形，并且大小、形状相同。
巩固练习：
1、如图，在△ABC中，DE是中位线.
（1）若∠ADE=60°，则∠B= .
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
（3）已知三角形三边分别为4、6、8，则连接该三角形各边中点所得的三角形的周长是 .
2、（1）在△ABC中，BD、CE分别是边AC，AB上的中线，BD、CE相交于点O，点M、N分别是OB、OC的中点，试猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明.
（2）上述条件不变，若AO=4，BC=8，则四边形DEMN的周长是 .

四、课堂小结：这节课你有何收获？还有哪些困惑？
五、课堂作业
1、P85习题19.2第13,14,15题
2、《基础训练》

板书设计：
19.2（4） 三角形的中位线
一、定义：连接三角形两边中点的直线叫三角形的中位线。
二、性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
三、学生证明三角形中位线定理的过程。