高考十年真题数学分项汇编——球体的外接与内切小题综合.docx

专题12 球体的外接与内切小题综合

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 直接求球的表面积与体积及相关应用
（10年3考）
2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷
理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题

本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.
考点2 正方体与长方体中的球体切接问题
（10年4考）
2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷
2016·全国卷、2016·全国卷
考点3 圆锥与圆柱中的球体切接问题
（10年3考）
2021·天津卷、2020·全国卷、2017·江苏卷
考点4 棱锥与棱台中的球体切接问题
（10年5考）
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷
考点5 球体切接问题中的最值及范围问题
（10年5考）
2023·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷、2016·全国卷、2015·全国卷

考点01 直接求球的表面积与体积及相关应用
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是 .
3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为，则该球主视图的面积等于

考点02 正方体与长方体中的球体切接问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
2．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
4．（2016·全国·高考真题）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
5．（2016·全国·高考真题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .

考点03 圆锥与圆柱中的球体切接问题
1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
3．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是

考点04 棱锥与棱台中的球体切接问题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）
A． B． C．1 D．
6．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．

考点05 球体切接问题中的最值及范围问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2018·全国·高考真题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
5．（2016·全国·高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
6．（2015·全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．