立体几何中的存在性问题.doc

18、（本小题满分12分）在正方体中，是棱的中点。
（1）求平面与平面所成二面角的正切值；
(2)是侧面上的一动点，且平面，求直线与平面所成角的正切值的取值范围。

18解：⑴取CD的中点，连结BF并延长交AD的延长线于G点．设正方体棱长为，则，，过D点作于H，有，
连EH，由三垂线定理知，，
即为所求二面角的平面角．其正切值为．……6分
⑵分别取的中点M﹑N并连结，有∥,∥,从而，平面，由题意知：点在线段上移动．又，直线与平面所成角的正切值为， …………………… 12分
19．如图，四棱锥，，的中点.
（1）求证：;
（2）在侧面内找一点，使，并求直线所成角的正弦值.

19．解（1）取的中点，连接则，且
所以四边形为平行四边形，所以………………………………………………2分
又平面，不在平面内，平面；……………………………4分
（2）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系
则
假设存在满足题意的点，则在平面内，设

，得所以，即是的中点，此时平面，………8分
设直线与平面所成的角为，易得
设与的夹角为，则………………………………………10分
,故直线与平面所成角的正弦值为……………12分