定点、定值与存在性问题(学生).doc

例1　(1)已知椭圆x2＋3y2＝5，直线l：y＝k(x＋1)与椭圆相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
②在x轴上是否存在点M(m,0)，使·的值与k无关？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

(2)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)
求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．

思考题1　(1)(2012·福建)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
①求椭圆E的方程；
②设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

(2)(2013·山西四校联考)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足·＝1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
①求P点坐标；
②求证直线AB的斜率为定值；
③求△PAB面积的最大值．

例2　(2013·长春调研)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4

y
－2
0
－4

(1)求C1、C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

思考题2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

课后练习
1．已知点B(－1,0)，C(1,0)，P是平面上一动点，且满足||·||＝·.
(1)求点P的轨迹C对应的方程；
(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论．

3．如图，已知椭圆＋＝1的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(1，)，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，且△F1F2M为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

5．(2012·湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

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