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存在性问题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、函数中的存在性问题（相似）
1.如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.
（1）写出的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、函数中的存在性问题（面积）
3.如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

4、在直角坐标系中，已知点P是反比例函数（＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

5.如图，第一象限内半径为2的⊙C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

6．如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

三、函数中的存在性问题（四边形）
y
A
B
C
O
x
7． 如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、
B(2，0)两点，且与y轴交于点C；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

8．已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B的坐标；
(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

【答案】1.解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴。
（2）由（1）得.
当时，． 解之，得　。
∴.
又当时，，
∴C点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥ 轴于点F。易知
在Rt△AED中，AD2=22+42=20，
在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2，
∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。
（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。
由△AOM∽ △ABC，得。即。
过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=，
OG=AO－AG=3－。
又点M在第三象限，所以M（－，－）。
2.解：（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。
∴抛物线的解析式为。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。
故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。
（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（，），由题意知＞0，＞0，且，
①若△AMP∽△BOC，则。
即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．
当=时，=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，则，。
即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去）
当=3时，=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。
3.解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。
∴双曲线的解析式为：。
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。
∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×5×6＝15。
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为，
把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。
∴直线CD相应的一次函数是：。
解方程组，解得，。
∴点D的坐标为（3，18）。

4.解：（1）四边形OKPA是正方形。理由如下：
∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK。∴∠PAO=∠OKP=90°。
又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°。∴四边形OKPA是矩形。
又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形。
（2）①连接PB，设点P的横坐标为，则其纵坐标为。
过点P作PG⊥BC于G。
∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC。
∴△PBC为等边三角形。
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=，PG=。
sin∠PBG= ，即解之得：=±2（负值舍去）。
∴PG=，PA=BC=2。
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3。
∴A（0，），B（1，0）C（3，0）。
设二次函数解析式为：。据题意得：
解之得：。
∴二次函数关系式为：
②设直线BP的解析式为：，据题意得：
解之得：。
∴直线BP的解析式为：。
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：。
解方程组：得
过点C作直线CM∥PB，则可得直线CM的解析式为：。
解方程组：得
综上可知，满足条件的M的坐标有四个：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。
5.解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD BD⊥AD 。
又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB是矩形。
∵⊙C的半径为2，∴AD=OB=4。
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）。
又∵点P也在直线AP上，∴p=4k+3。
（2）连接DN。∵AD是⊙C的直径，∴ ∠AND=90°。
∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN，
∴∠AND=∠ABD 。
又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。
∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。
（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。
∴AB=。
∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB，∴DN==。
∴AN2=AD2－DN2=。
∵△AMN∽△ABP ， ∴ 即 。
当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(PB－BD)2 =42＋(4k＋3－3)2 =16(k2＋1)，
或AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(BD－PB)2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1)，
S△ABP= PB·AD= (4k＋3)×4=2(4k＋3)，
∴。
整理得k2－4k－2=0 ， 解得k1 =2＋ ， k2=2－ 。
当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2＋PD2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1) ，
S△ABP= PB·AD= [－(4k＋3)]×4=－2(4k＋3)，
∴。
整理得k2+1=－（4k＋3）， 解得k=－2。
综合以上所得，当k=2±或k=－2时，△AMN的面积等于。
6.解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线与轴交于点
∴
∴
所以，抛物线的函数关系式为：
又
因此，抛物线的顶点坐标为
(2）连结∵是的两条切线，
∴∴
又四边形的面积为∴∴
又∴
因此，点的坐标为或
当点在第二象限时，切点在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
过切点作垂足为点
∴
因此，切点的坐标为
设直线的函数关系式为将的坐标代入得
解之，得
所以，直线的函数关系式为
当点在第三象限时，切点在第四象限.
同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为
因此，直线的函数关系式为
或
(3）若四边形的面积等于的面积
又
∴
∴两点到轴的距离相等，
∵与相切，∴点与点在轴同侧，
∴切线与轴平行，
此时切线的函数关系式为或

当时，由得，
当时，由得，
故满足条件的点的位置有4个，分别是

说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
7：[解] (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个
方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，
∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。
AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。
(2) 点D的坐标为(，1)。
(3) 存在。由(1)知，AC^BC。
y
A
B
C
O
x
P
j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，
把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，
∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
y
A
B
C
O
P
x
∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，
x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。
k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代
入直线BP的解析式，求得b= -4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线
上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，
即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。
当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。
综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。
【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．
(1）当OA＝OB＝5时，
如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．
如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．

x
y
B
C
A
O
x
y
B
C
A
O

(2)
(1)

当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）．
当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，0）．y
B
C
A
x
O
(3)
(4)

y
A
B
D
x
O

(2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(当OA＝OB时，同理得．
(3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入，解得m＝3．
则点P的坐标为（4，－9），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．
若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），
S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．

(5)
O
y
B
C
A
x
P

E

(6)
x
y
B
A
O
C
P

F

(当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入，解得m＝．
则点P的坐标为（1，－），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．
若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．

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