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最优订货方案的确定
摘要
本文着力研究大中型超市的最优订货方案。对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。本文研究了大中超市在不考虑运输费用，和有考虑运输方式以及商品供应时间这两种情况下的最优订货方案。
对于问题一，由于不考虑运输的费用（即当库存量为0时，商品可以立即得到补充），我们运用初等数学建立存贮模型，即总成本和库存量的函数关系为。根据总成本和库存量的函数关系，我们可以易得出该商品的最优订购量表达式为和最优订购次数的表达式为。
对于问题二，我们根据给定超市所提供的数据代入问题一所得出的最优订购量和最优订购次数通用公式，可以轻松得到30种商品各自的最优订购量和最优订购次数。
对于问题三，我们可以算出每种商品订货周期内的需求量，然后算出贮存费的大小，并求出商品的成本费和订购费。以全年商品的订货总费用为目标函数，以每种卡车的载重量不超过4吨、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立优化模型。因为该模型求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型。根据商品的总重量和卡车载重限制求解出运输所需的卡车数。最后求出每种订货方式所需要的运输费用，分别是6083613.275元、6073574.5元，发现每个月订货一次的方式更优。两者贮存费和订购费之差就是超市成本增加的数额，为7538.38元。
对于问题四，由于考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货，我们根据问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年订货总费用，然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型。
对于问题五，实际情况下，商品每年的需求量不是均匀分布，每次的进货量和最小库存量可能都不同。分别算出每年所有商品的年贮存费、成本费、运输费、订购费，以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每辆卡车的载重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模型求解。

关键词：存贮模型 优化模型 整数规划 最优订货

一、问题重述
对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。
商品的库存量要时时满足超市对商品的需求量。当库存量降到一定水平时，超市必须再一次订货，否则当库存量小于顾客对商品的需求量时再订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失。
同时库存在超市的商品，需要一定的库存成本。超市每次对某件商品的订货量一方面不能太大，否则库存成本将增加；另一方面每次订货的数量也不能太小，否则由于每次订货将花费一定的订货费用，随着订货次数增加，订货的花费将增加。
因此要根据某件商品的需求，选择每次订货时最好的订货数量，从而降低订货次数和订货成本。
对于一些大中型超市，其所售商品的品种规模很大，由于每件产品的需求量，库存成本，订货成本，重量等有可能都不一样，因此不同品种商品的订货数量和时间也不一样。而且由于订货后，需要将商品运到超市，考虑到运输成本，需要结合不同商品的订货量、重量、订货时间等，使得车辆尽可能满载。
本文在现有的一家超市的基础上，根据其给定的30种商品的需求量、库存成本、订货成本、重量等信息，需解决下列问题：
1、考虑任一件商品，不考虑运输的费用，建立数学模型说明使得该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的，并且求出这个订货量。
2、对该超市给出的30中商品，不考虑运输的费用及载重限制，利用问题1的结论分别求出每种商品的订货量和订货次数。
3、在实际中，供应点实际上允许每个超市每两周（15天）或者每个月（30天）订货一次。那么对这30种商品超市要选择哪种订货方式好？计算出这种订货方式与问题2的最优订货量情况下超市成本增加的数额。
4、现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。给出这30种商品的最优订购方案。
5、对于更一般的情形，完善数学模型。
二、问题分析
问题一：
由于不考虑运输的费用，可以理解为当存贮量降至0时，商品可以立即得到补充。而且所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用也相等。因此，可以认为库存量与时间所构成的函数是一个周期函数，而且在一个周期中，库存量和时间成线性关系，如图2.1.1所示：
库存量
Q

时间

图2.1.1在均匀需求下存贮模型
在一个周期中，库存量和时间的函数关系为，则一个周期内的平均存贮量为。从而，可以得出总费用与库存量的函数关系。根据其函数关系，易得最优订货量和最优订货次数。

问题二：
由问题一的结论，可以得出最优订货量为，最优订货次数为。通过Excel，将30种商品数据依次代入最优订货量和最优订货次数的公式中，进行数据处理。
问题三：
因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15天）或者每个月（30天）订货一次。我们先可以确定一种订货方式，根据每种商品的年需求量算出每种商品每次订货周期内的需求量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商品的件数取整。我们根据问题一计算贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的成本费和订购费。我们假设每次订货周期内一共需要m辆卡车，设 为第i种商品装在第j辆卡车上的件数，设为第i种商品的重量，设为第i种商品在订货周期内的需求量（i:1—30）。以全年商品的订货总费用为目标函数，以每种卡车的载重量不超过4吨、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型，考虑到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。首先根据 建立数学模型，若，则需要卡车数为辆，若，则需要卡车数为辆。最后求出每种订货方式所需要的运输费用，比较两种订货方式的优劣，再计算出这种订货方式与问题2的最优订货量情况下超市成本增加的数额。

问题四：
现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。我们根据问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本费和订购费。贮存费、订购费和年成本费。以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件建立模型。

问题五：
设一年共进货n次，每次每种商品的进货量为，每次每种商品的最小库存量为，每次进货时所需要的卡车数为辆。根据题意可知，库存量降为0时再订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失，即；实际情况下，所有商品的需求不是均匀分布于全年的，所以每次的进货量和最小库存量可能都不同，并且全年的进货量和库存量总和大于或等于全年的需求量，即。库存在超市的商品，需要一定的库存成本，所有商品的年贮存费为。每年所有商品的成本费为，每年所有商品的运输费为，每年所有商品的订购费为。以年订货总费用为最小值建立最优化模型，年总订货费用为。再以每辆卡车的载重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模型。

三、模型假设
1、考虑的所有商品的需求是均匀分布于全年的
2、商品的库存费用都与该商品的价格成正比
3、每件商品的价格在全年保持不变
4、每次的订货费用也相等。
四、符号说明
每次订货量
每次订货费用
每件产品的价格
产品的最小库存量
该产品的年总需求量
年进货次数
库存费用与价格比例。
f 商品的订货总费用
第i种商品装在第j辆卡车上的件数(i:1—30，j:1—m）
第i种商品的重量（单位：kg)（i:1—30）
第i种商品在订货周期内的需求量（i:1—30）
i=1表示每两周（15天）订货一次，i=2表示每个月（30天）订货一次
第i种商品的年需求量（i:1—30）
第i种商品的年需求量（i:1—30）
第i种商品的价格（i:1—30）

五、模型的建立及求解
5.1问题一：存贮模型的建立
由于所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用也相等，则库存量随时间的变化情况如图5.1.1所示：

订货量（常数）
最小库存量S

图5.1.1 均匀需求下的库存量变化情况 （纵轴为某商品库存量，横轴为时间）
设定Q表示每次的进货量，表示每次订货费用，表示每件产品的价格，s表示该产品的最小库存量，N表示该产品的年总需求量，n表示年进货次数，k表示库存费用与价格比例。
由于假定商品的需求是连续的、均匀的，并且不考虑运输的费用，当存贮降至0时，可以立即得到补充，这个存贮模型的变化情况如下图5.1.2所示：
（表示订货的周期时间）
库存量
Q

时间

图5.1.1在均匀需求下存贮模型
以一年时间计，每隔进货一次，每次订货量为Q，共进n次，则有，，从而得：。
在一个周期内，t时刻的贮存量V（t)应满足：

解之，
由图形直观的理解，V（t)下方的面积就是第一个周期的存贮量。
库存量
Q

图5.1.3
即，从而得到一个周期内的平均存贮量为，我们把一年分成n个周期，并且每个周期内的平均存贮变化都是一样的，这样年内的平均存贮量都是。从而知，一年的存储费用为；一年的订购费为：;N件产品的进货费用相同，所以若要使得该商品全年订货总费用最小，只需考虑年订购费和年存储费用；因此该商品全年订货总费用为：；这就是存贮模型。
当Q等于多少时，C(Q)达到最小呢？随每次订货量Q的增加，年订购费减少，但是贮存费用增加；每次订货量Q的减少，年订购费增加，但是保管费减少。从下面的直观图形（图5.1.4）可以看出，要想使总贮存费用达到最小，必须使订购费和贮存费用相等。

图5.1.4 总费用与库存量的关系
令,即，则该商品全年订货总费用最小值为，此时最优订货量为，最有订货次数为。

5.2问题二
由以上的存贮模型得出，，当一年的存储费用（）=一年的订购费（）时，该商品全年订货总费用最小值为，最优订货量为，最优订货次数为。
将30件商品相应的数据代入公式中，得出每种商品的订货量和订货次数。结果如表所示：
表5.2.1 最优订货量、最优进货次数
商品序号
每年需求量N（件）
每次订货费用C1(元/次）
价格C2（元/件）
库存费用与价格比例k(%)
最优订货量
最优进货次数
1
10000
5
2
18%
528
19
2
600
10
15
20%
64
10
3
800
17
25
12%
96
9
4
950
20
67
30%
44
22
5
15000
50
10
10%
1225
13
6
2000
35
35
15%
164
13
7
8000
24
40
12%
283
29
8
500
98
510
25%
28
19
9
8500
60
25
12%
584
15
10
5700
100
35
10%
571
10
11
2600
46
41
21%
167
16
12
6520
45
59
16%
250
27
13
3600
10
68
16%
82
45
14
800
32
71
20%
61
14
15
900
41
46
36%
67
14
16
2000
52
100
9%
153
14
17
3000
60
40
23%
198
16
18
6200
30
50
12%
249
25
19
1600
26
64
13%
100
16
20
3200
38
40
16%
195
17
21
4600
29
56
15%
179
26
22
3000
28
46
16%
152
20
23
2100
36
38
13%
175
13
24
800
30
26
12%
125
7
25
500
20
45
14%
57
9
26
400
92
150
18%
53
8
27
6700
10
20
19%
188
36
28
16000
8
26
12%
287
56
29
9800
45
40
20%
333
30
30
10200
30
70
5%
419
25

5.3问题三：
最优化模型的建立
因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15天）或者每个月（30天）订货一次。我们根据问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本费和订购费。然后根据每种商品的年需求量算出每种商品的每次的订货量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商品的件数取整。
表5.3.1：每月订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费
商品序号
每月进货量（件）
贮存费（元）
订购费（元）
年成本费（元）
1
834
150.12
60
20000
2
50
75
120
9000
3
67
100.5
204
20000
4
80
804
240
63650
5
1250
625
600
150000
6
167
438.375
420
70000
7
667
1600.8
288
320000
8
42
2677.5
1176
255000
9
709
1063.5
720
212500
10
475
831.25
1200
199500
11
217
934.185
552
106600
12
544
2567.68
540
384680
13
300
1632
120
244800
14
67
475.7
384
56800
15
75
621
492
41400
16
167
751.5
624
200000
17
250
1150
720
120000
18
517
1551
360
310000
19
134
557.44
312
102400
20
267
854.4
456
128000
21
384
1612.8
348
2557600
22
250
920
336
138000
23
175
432.25
432
79800
24
67
104.52
360
20800
25
42
132.3
240
22500
26
34
459
1104
60000
27
559
1062.1
120
134000
28
1334
2081.04
96
416000
29
817
3268
540
392000
30
850
1487.5
360
714000

表5.3.2：每15天订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费
商品序号
每15天的进货量（件）
贮存费（元）
订购费（元）
年成本费（元）
1
417
75.06
120
20000
2
25
37.5
240
9000
3
34
51
408
20000
4
40
402
480
63650
5
625
312.5
1200
150000
6
84
220.5
840
70000
7
334
801.6
576
320000
8
21
1338.75
2352
255000
9
355
532.5
1440
212500
10
238
416.5
2400
199500
11
109
469.245
1104
106600
12
272
1283.84
1080
384680
13
150
816
240
244800
14
34
241.4
768
56800
15
38
314.64
984
41400
16
84
378
1248
200000
17
125
575
1440
120000
18
259
777
720
310000
19
67
278.72
624
102400
20
134
428.8
912
128000
21
192
806.4
696
2557600
22
125
460
672
138000
23
88
217.36
864
79800
24
34
53.04
720
20800
25
21
66.15
480
22500
26
17
229.5
2208
60000
27
280
532
240
134000
28
667
1040.52
192
416000
29
409
1636
1080
392000
30
425
743.75
720
714000

我们设 为第i种商品装在一辆卡车上的件数，设为第i种商品的重量，设为第i种商品在订货周期内的需求量（i:1—30）。然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型如下：

（1）若订货周期为15天，

（2）若订货周期为30天

5.3.2模型的求解
考虑到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。首先根据 建立数学模型，若，则需要卡车数为辆，若，则需要卡车数为辆。

根据上述模型，求得一个月或者是两周所需要的货车数量，分别为65辆和33辆，然后便不难求得两种订货方法所需要的年订货费用：
每15天订货一次：33*1000*24+5291613.3= 6083613.275元
每30天订货一次：65*1000*12+5293574.5= 6073574.5元
由此可以看出，每个月订货一次的方案更加节省成本，所以每个月订货一次的方案更优。
每个月订货一次的方式的贮存费和订购费为44544.46元，问题2的最优订货量情况下的贮存费和订购费为37006.08元，每个月订货一次超市成本增加的数额为7538.38元。

5.4问题四：
最优化模型的建立
现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。我们根据问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本费和订购费。贮存费、订购费和年成本费见表格5.3.1和5.3.2。
我们设 为第i种商品装在一辆卡车上的件数，设为第i种商品的重量，设为第i种商品在订货周期内的需求量（i:1—30）,设订货一次需要m辆卡车，设一年共订货n次。然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型如下：

5.5问题五:
设一年共进货n次，每次每种商品的进货量为，每次每种商品的最小库存量为，每次进货时所需要的卡车数为辆。有些商品在完成一次订货后，由于每天有顾客购买该商品，其库存数量将减小。当库存量降到一定水平，超市必需再一次订货，否则库存量降为0时再订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失，即。实际情况下，所有商品的需求不是均匀分布于全年的，见图5.3.1，所以每次的进货量和最小库存量可能都不同，并且全年的进货量和库存量总和大于或等于全年的需求量，即。库存在超市的商品，需要一定的库存成本。若订货量太大，库存成本将增加；若每次订货的数量太小，则订货次数增加，订货的花费增加，所有商品的年贮存费为。每年所有商品的成本费为，每年所有商品的运输费为，每年所有商品的订购费为。以年订货总费用为最小值建立最优化模型，年总订货费用为。再以每辆卡车的载重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，
我们建立模型如下：

订货量（常数）

图5.5.1. 非均匀需求下的订货，库存量变化情况。纵轴为某商品库存量，横轴为时间。

六、模型的改进与推广
模型的优点：该模型的假设和建立都较为合理，可以大大简化模型，求得在需求是均匀分布于全年时，商品全年订货总费用最小的最优订货量和最优订货次数，从而可以降低成本，提高超市的利润。
模型的缺点：
1.由于模型较为复杂，计算繁琐，很难得到结果，因此只能简化模型从而得到大概值来作为最后结果，存在一定的误差。
2.有些假设不符合实际情况，比如商品需求是均匀分布于全年、商品的价格一年不变、每次的订货周期和订货数量是相同的。由于受市场因素影响，这些假设很难保证，又加大了模型求解的误差。
模型的改进：
1. 通过市场调查获得商品在一年内的具体价格变化
2. 通过市场调查获得商品在一年内的具体需求分布
3. 了解调查商品的最小存货量
模型的推广：该模型适用于各类企业的订货，先建立模型来得到最优订货方案可以帮助企业减少成本，从而提高资源的利用率，实现利润的最大化。
七、参考文献
[1] 张亚杭.运用初等数学建立存贮模型 [J/OL] .教与学，2002，（1）：39

【附录1】
30件商品的需求量、库存成本等相应原始数据
商品序号
每年需求量N（件）
每次订货费用C1(元/次）
价格C2（元/件）
库存费用与价格比例k(%)
重量（kg)
1
10000
5
2
18%
5
2
600
10
15
20%
20
3
800
17
25
12%
30
4
950
20
67
30%
35
5
15000
50
10
10%
25
6
2000
35
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