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上海交通大学高等数学复习提纲
第一章 函 数
1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法
2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）
3.复合函数的函数值计算、单调性等
4.单射和满射的定义与性质
5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质
6.反三角函数的图像与性质
7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础

第二章 极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）
1. 数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界
2. 数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）
3. 证明一个数是数列的极限的方法
4. 无穷大与无穷小的含义
5. 会求以下类型数列的极限
1）分子、分母为多项式
2）分子、分母含根式（很重要）
3）分子、分母含指数式
4）能够转化为（1+1/n）n的极限
5）会用夹逼定理求极限（很重要）
6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度）
7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）
6. 为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式

并且掌握常见的求数列前n项和的方法
7. 函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法
8. 了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质
9. 函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感觉
10. 重要函数极限及其转化应用
lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e;
x→0 x→ɷ
11. 无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）
12. 等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等
价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心
13. 函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）
14. 函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住
典型案例
15. 连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质
16. 从定义和几何特征上体会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法，
适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现

第二章 的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多

第三章 导数与微分
1. 导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系
2. 微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系
3. 理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）
4. 背住导数表和微分表
5. 会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分；
理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解，
会求反函数的导数。（重要）
6. 会求隐函数和参数方程的导数。（重要）
备注5&6:一定要理解为什么要那样求，然后就是大量地做题总结，类型要全
7. 导数应用理论上可以忽略
8. 掌握Leibniz高阶导数求导公式
9. 隐函数与参数方程的高阶导数（二阶很重要），隐二者必须至少掌握到二阶，更高阶需要
看一看

第四章 微分中值定理与导数应用
1. 把Fermat定理、Darboux定理、Rolle定理、Lagrange定理Cauchy定理挨着个儿看一遍；
重点关注Rolle定理和Lagrange定理；
2. 会用L'hospital法则与等价无穷小替换等方法结合来求极限（重要，练习）
3. 理解Taylor展开的原理，背住Taylor公式带Peano余项的展开公式，Lagrange余项根据自
己的情况
4. 背住ex、sinx、ln（1+x）的Maclaurin公式，其它常见的至少要能够推导；
能够用Taylor展开求极限和解决无穷小的问题（重要）
5. 会研究函数性态（重要）
1）明确函数性态包含的方面
2）掌握凸性与拐点与二阶导数值的关系
3）会求水平、垂直渐近线，背住斜渐近线的求法公式，而且会求
4）会全面的画性态示意图
6. 从定义和几何上理解曲率和曲率半径，尽量记住公式，记不住要会推导（考得少，不过考
得简单，所以记住公式，志在必得）
7. 求近似解理论上可以忽略

第五章 积分（要点少，功夫不能少）
1. 定积分的定义及其在求数列极限中的作用，定积分的几何意义；
2. 特殊的不可积例子；
3. 时间不充足可以忽略可积条件这一点
4. 了解定积分的性质，重点关注绝对值不等式、积分中值定理及其几何意义
5. 变上限积分和变上限积分的导数（重要）
6. 背积分表
7. 会求不定积分
1）凑微分法的原理和用法
2）第二换元法的原理和用法（此处一定要会用辅助三角形）
3）第二换元法的特例倒置法的应用
4）分部积分法
5）简单有理函数积分法
6）三角函数有理式积分（注意合理使用万能代换）
7）简单无理函数积分
备注:一定要总结各种类型积分的结构特点，积分只有靠多观察多练
8. 明白不定积分与定积分求法的不同之处，学会换元积分
9. 会在定积分中（注意是定积分）用奇函数、偶函数的对称性；会用一系列三角函数积分变
换的公式（P248）；会用wallis公式（重要）；
10. 注意一下P289的33题的做法
11. 会在函数、参数方程、极坐标方程的情形下或者转化后求面积、体积、弧长；（重要）
重点要关注为什么那样求，关注薄壳法，记住重要的公式；
12. 会求无穷区间和无界函数的反常积分，一定要明白存在反常积分的条件（重要）

第六章 微分方程
这一章用另一种方式来说明：
首先搞清楚什么是微分方程、n阶微分方程、一阶线性微分方程等等；
然后梳理出一个清单，内容是我们需要解决的微分方程的类型和解法，写完清单的同时
必须要理解并记住这种解法，其中记住的要求就是把握这种类型的结构特征；
此外有这样一些点需要注意：
1. 避免y永远是x的函数的定势思维，灵活求解；
2. 记住诸如Liouville公式等重要公式
3. 一定要在理解一类微分方程的解法的基础上再去解微分方程
4. 最后两节理论上可以忽略；
5. 做题和总结很重要；

第七章 向量代数与空间解析几何
1. 会用定比分点公式
2. 会单位化向量，掌握方向余弦、方向角的含义与求法
3. 会求数量积
4. 理解平面向量基本定理、空间向量基本定理并会使用
5. 区分投影向量、投影，会求会表示
6. 会求向量的外积，包括阶乘求法和几何求法，了解向量外积的几何意义（方向与大小）
7. 了解混合积的含义，会求混合积
8. 归纳平面、直线方程的形式和参数的意义，重视方向向量与平面法向量的应用；
9. 理解平面束方程的含义，会用平面束方程解决问题
10. 能够联系外积的性质解决几何上的位置关系等问题
11. 会求点面距、面面角、线线角、线面角等，公式可以记，也可以自己画法向量、方向向
量等来推导；（多操练)