高考十年真题数学分项汇编——复数（含答案）.docx

专题02 复数

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 求复数的实部与虚部
（10年4考）
2020·全国卷、2020·江苏卷、2018·江苏卷、2016·天津卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·北京卷
1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系

本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。
考点2 复数相等
（10年7考）
2023·全国甲卷、2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·浙江卷、2016·天津卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015·上海卷
考点3 复数的分类
（10年2考）
2017·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷
考点4 共轭复数
（10年10考）
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国
考点5 复数的模
（10年9考）
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷
考点6 复数的几何意义
（10年8考）
2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2016·全国卷

考点01 求复数的实部与虚部
1．（2020·全国·高考真题）复数的虚部是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
2．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是 .
【答案】3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
3．（2018·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ．
【答案】2
【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
详解：因为，则，则的实部为.
点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.
4．（2016·天津·高考真题）是虚数单位，复数满足，则的实部为 .
【答案】1
【详解】试题分析：，所以的实部为1.
【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.
5．（2016·江苏·高考真题）复数其中i为虚数单位，则z的实部是 .
【答案】5
【详解】试题分析：．故答案应填：5
【考点】复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为
6．（2016·全国·高考真题）设的实部与虚部相等，其中为实数，则
A．−3 B．−2 C．2 D．3
【答案】A
【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A.
【考点】复数的概念及复数的乘法运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.
7．（2015·重庆·高考真题）复数的实部为 .
【答案】-2
【详解】由于,故知其实部为-2，故填：-2.
考点：复数的概念与运算.
8．（2015·北京·高考真题）复数的实部为 ．
【答案】
【详解】复数，其实部为.
考点：复数的乘法运算、实部.

考点02 复数相等
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ）
A．-1 B．0          · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
3．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】

由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
5．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
6．（2017·浙江·高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．
【答案】 5, 2
【详解】由题意可得，则，解得，则．
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．
7．（2016·天津·高考真题）已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为 .
【答案】2
【详解】试题分析：由，可得，所以，，故答案为2．
【考点】复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.
8．（2015·全国·高考真题）若为实数,且 ,则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得 ,故选D.
考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.
9．（2015·全国·高考真题）若为实数且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知得，所以，解得，故选B．
考点：复数的运算．
10．（2015·上海·高考真题）若复数满足，其中是虚数单位，则 .
【答案】
【详解】设，则，因为，
所以，即，所以，即，
所以.
考点：复数的概念，复数的运算.

考点03 复数的分类
1．（2017·全国·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i)
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.
【详解】由题意，对于A中，复数为纯虚数，所以正确；
对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确；
对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确；
对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.
【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2．（2017·全国·高考真题）设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
3．（2017·天津·高考真题）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ．
【答案】-2
【详解】为实数，
则.
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数，
当时，为虚数，
当时，为实数，
当时，为纯虚数.
4．（2015·天津·高考真题）是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .
【答案】
【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.
考点：复数的运算.

考点04 共轭复数
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
7．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】

故选 ：C
8．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
9．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.

考点05 复数的模
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
3．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．

5．（2020·全国·高考真题）若，则（    ）
A．0 B．1
C． D．2
【答案】C
【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
6．（2020·全国·高考真题）若z=1+i，则|z2–2z|=（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得：，则.
故.
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
7．（2020·全国·高考真题）设复数，满足，，则= .
【答案】
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，

.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
8．（2019·全国·高考真题）设，则=
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．
【详解】因为，所以，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
9．（2019·天津·高考真题）是虚数单位，则的值为 .
【答案】
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】．
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
10．（2019·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】.
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.

考点06 复数的几何意义
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
4．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得，.
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．（2019·全国·高考真题）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．
6．（2019·全国·高考真题）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
7．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解：的共轭复数为
对应点为，在第四象限，故选D.
8．（2017·全国·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】，则表示复数的点位于第三象限. 所以选C.
9．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．（–∞，1） B．（–∞，–1）
C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.
【考点】复数的运算
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
10．（2016·全国·高考真题）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：
要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.
【考点】 复数的几何意义
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．
复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．
复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量.