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毕达哥拉斯方法
（浙江宁波东方外国语学校 栗建洲 315500）

一、毕达哥拉斯学派简介
毕达哥拉斯（Pythagoreans，约公元前585 ~ 500年）是古希腊著名的数学家，他在音乐、天文、哲学方面也有相当研究，首创“地圆说”，认为日、月、五星都是球体，悬浮在太空之中。虽然他的生平很少为人所知，但他那传奇般的经历却给后人留下了众多神奇的传说。据考证，毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚海岸萨摩斯（Samos，今希腊东部小岛），早年曾追随古希腊大哲学家泰勒斯（thales），后到埃及与巴比伦去游学，在那里受到东方文明的熏陶，学习了一些数学知识。约在公元前530年到达意大利南部城镇克洛吞（crotona），在那里创建了集哲学、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为“毕达哥拉斯学派”，学派活动持续了约180年之久。据传学派由领导人向门徒传授知识，每个门徒都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。门徒的研究成果由领导人加以总结作为集体的智慧，且秘而不宣，因其学派的活动都是秘密的，因此笼罩着一种不可思议的神秘气氛。毕达哥拉斯学派的学者未留下著作，一些留存于世的成果很难分清楚哪些属于毕达哥拉斯本人，哪些属于其门徒，因此后人只能把毕达哥拉斯学派作为一个团体来评价。
二、两项重要的数学研究成果
毕达可拉斯学派有两项重要的数学研究成果，一项是发现了毕达哥拉斯公式，另一项是发现了黄金分割作图法，下面简要介绍这两项重要数学成果的发现过程。
1、毕达哥拉斯公式的发现
所谓毕达哥拉斯公式即m2+=（m为奇数），据说毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会，主人的豪华餐厅铺着正方形的大理石地砖，善于观察和理解的毕达哥拉斯看着这些排列规则的美丽方砖，联想到它们和数之间的关系，并在地板上以其中一块的对角线为边画了一个正方形，发现这个正方形面积恰好等于两块地砖的面积和，当他再以两块地砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形时，发现这个正方形之面积等于五块地砖的面积，至此毕达哥拉斯作了大胆猜想：任何“直角三角形其斜边的平方恰好等于另两边平方之和”。但限于当时人们的认识水平，对这一定理的解释是建立在如下的基础之上的：首先，把数字想象成一些点的组合，这些点可以是星座，也可以是石头或诸如此类的其它东西，其次，由点组合而成的各种图形都有相应的数字，然后通过分析图形的关系，就能够了解数字的规律。比如1，3，6，10，……个点都能组合成三角形（见图1），因而1，3，6，10，……就被称为三角形数。1，4，9，16，……个点都能组合成正方形（见图2），因而1，4，9，16，……就被称为正方形数。依此类推，还有长方形数、五边形数、六边形数等等。
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从图2可以看出，由n2个点组合成的方阵，只有再加上2n+1个点，才能构成由(n+1)2点组合的方阵，即n2+(2n+1)= (n+1)2 （1）
如果令2n+1= m2，那么 图1
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n = n+1 = （2）
把（2）式代入（1）式，可得 图2
m2+= （3）
这就是著名的毕达哥拉斯公式。当m为奇数时，m、、 就构成一组毕达哥拉斯数（即勾股数组）。值得指出的是：在寻找勾股数组方面，中国有着悠久且光辉的历史。古算书《周髀算经》中记述着公元前1100年周公和商高两个人的对话，商高说：“勾广三，股修四，径隅五。……”即给出了一组勾股数3，4，5。公元一、二世纪间的《九章算术》中，记载的勾股数竟有八组之多，它们是（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）（8，15，17）（20，21，29）（20，99，101），（48，55，72），（60，91，109）。更有重大意义的是，通过数学家进一步的研究，《九章算术》一书中实际上给出了求勾股数组的通式，即对于任意的正整数m，n，m>n有
这一通式得到了古代数学家刘徽的证明。
2、黄金分割作图法的发现
所谓“黄金分割”，指的是这样一个问题：给定一条线段AB，在其上找一点P，使得
AP2= AB·PB，则点P即为黄金分割点。黄金分割在美学上有着特殊的意义，毕达哥拉斯学派是在分析正五边形性质时发现了黄金分割作图法的，他们认为，正五边形对角线的交点“恰好是对角线上的黄金分割点”，而这一点所分成的两条线段，较长的一条其长度正好等于正五边形的边长，如果用d表示对角线长，s表示边长，那么就有公式：
d（d―s）=s2 …………（4）
那么毕达哥拉斯学派是用什么样的方式证明这一公式的呢？
首先考虑一系列五边形P1、P2…Pn…它们的边长和对角线长分别为s1、s2…sn…和d1、d2…dn…且满足如下的递推关系：
dn= …………（5）
即有如下的序列
Pn
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
…
sn
1
1
2
3
5
8
13
21
…
dn
1
2
3
5
8
13
21
34
…
我们观察P1、 P3、 P6所表示的图形

P1 P3 P6
很明显，随时着n值的增长，这些五边形越来越象“正五边形”，可以设想，当n值趋于无穷大时，这些五边形是会变成正五边形的。于是，这一系列五边形的边长与对角线长的关系，就会转化成正五边形边长与对角线长的关系。由递推关系可以得知
dn（dn―sn）―sn2=(―1)n …………（6）
这表明，以dn和dn―sn为边长的长方形面积，总是略大于或小于以sn为边长的正方形面积。而且随着n值的增大，两者的差距越来越小。由此可以推断，当n值趋于无穷大时，两者的差距会消失。令d和s分别表示dn和sn在n值趋于无穷大时的值，则可得到
d（d―s）=s2，这正好是表示黄金分割关系的公式。
在今天看来，毕达哥拉斯学派的上述推理方式是很费事的，如对公式（6）取极限即可得到公式（4），根据正五边形的几何性质能很容易证明公式（4）（事实上欧几里得也作出了证明），但毕达哥拉斯学派因在那个年代还没有今天的极限理论和欧氏几何学说，在对黄金分割的发现与证明中经过了曲折和迂回的思路，尽管如此，这在当时已是非凡的成就。
三、主要数学思想对我们的启迪
毕达哥拉斯学派之所以能发现毕达哥拉斯数和黄金分割作图法，关键在于正确的分析了正方形数的图形和正五边形边长与对角线的关系，已初步具备了“数形结合”的思想方法，使当时人们对数的规律的认识大大直观化，从而在数论方面有了诸多的发现如三角形数，正方形数的一般公式，三角形数与正方形数的关系等，黄金分割作图法的推理方式蕴含了极限的理论和数学归纳法思想。
但我们也必须清醒地认识到毕达格拉斯学派对数字和图形关系的片面理解，也得出了一些错误的结论，比如：他们认为数既然是一些点的组合，而点是不可再分的，所以只有能表示成整数和整数之比的数（有理数）是合理的，而不能表示为整数之比的数（无理数）是不合理的，因其团体具有强烈的宗教意识，致使门徒的研究成果不能离开学派的主要观点，据说，毕达哥拉斯的一个门徒希帕萨斯（Hippqsus）发现了无理数，但这一发现打破了“宇宙万物皆为整数与整数之比的信条”，因此被扔到大海里，但该定理对数学的发展却起到了巨大的促进作用。对黄金分割的推理方式也不严格精确，其中夹杂着直观经验和想象的成份，如果把这些经验和想象应用在其它数学问题上是很可能会得出错误的结论。
从毕达格拉斯学派的上述两项成果可以看出，获得数学发现，往往要比证明数学成果更困难，因此，尽管那些获得数学发现的数学家可能走过不少弯路，也可能有不少思想方法的欠缺，但只要我们尊重其成果，认真研究他们的思维方式，一定会使我们每一个人获得智慧的启迪。
参考文献：
（1）《大数学家的思维方式》P1—8，王前编译（辽宁教育出版社）1986年。
（2）《费马猜想》P54—55，姚玉强编（辽宁教育出版社）1987年。
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