种西瓜--建模.doc

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- 1 -

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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日期：2011 年 8 月 15 日

15

关于西瓜种植方案的最优选择
摘要
本文就西瓜种植方案的选择与获利问题进行了研究，在考虑市场销售实际情况、合理假设的基础上建立相应的模型进行分析求解。
问题一，引用近似假设法，建立完全信息静态博弈模型，对此采取NASH均衡策略。通过对每户的获利函数求偏导得出相应的NASH均衡解。
问题二，引用函数分析法，建立两个相应的一元二次方程，求出张三不能提高最大收益。
问题三，引用分段分析法，建立李四和王五的总播种量在不同区域内时他们的最大收益，求取相对最优值。并引用客观权重对总利润进行分配，求出李四和王五各自的种植数量和收益。
问题四，建立合作对策模型，通过PARETO改进求得PARETO最优解，将问题转化为多元目标规划求得出合作模型的最优决策方案。
经过对比可得出三人合作时各方所获得的收益都大于非合作时各方所收获利益。最后对模型的假设、分析和求解过程作出评价及推广。

关键词：收益 完全信息静态博弈 NASH均衡 PARETO最优解

目 录
关于西瓜种植方案的最优选择 - 1 -
摘要 - 1 -
一、问题重述 - 2 -
二、问题分析 - 3 -
三、模型假设 - 4 -
四、符号说明 - 5 -
五、模型的建立与求解 - 7 -
5.1 问题1的模型： - 7 -
5.2 问题2的模型 - 9 -
5.3 问题3的模型 - 9 -
5.4 问题4的模型 - 11 -
六、模型的评价与推广 - 14 -
参考文献 - 15 -

一、问题重述
张三、李四和王五是自由市场上仅有的三个出售西瓜的农民，设三人种植西瓜的数量分别为、与（单位：个），成本分别为（单位：元/个）

西瓜的市场价格为

1、 张三、李四和王五同时播种，且三人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息，在互相不通种植信息的前提下求各自的决策，以及在此决策下各自的产量和收益。

2、 若李四和王五按上述决策执行，但张三没有按上述决策执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量。那么，张三能否提高收益？其产量及收益分别是多少？

3、 若李四与王五知道了张三的上述“计谋”，因此，根据他们自己的种植量，就可以推算出张三的种植量,从而推算出市场价格以及自己的利润。李四与王五为使他们的总利润最大，应该选择怎样的种植数量？同时，他们两人之间又应如何划分种植数量？收益各如何？

4、 若三人决定合作，问应如何合作？各自的产量及收益分别是多少？

二、问题分析

问题一：由于每户的成本不同，但差距很小，为方便分析，引用近似假设法，建立完全信息静态博弈模型，对此采取NASH均衡策略，即任意一方在不考虑其它各方种植方案的情况下，都认为自己的选择方案是最好的，对每户的获利函数求偏导，令其为零，求得三农户中各自的策略对其它两农户的策略的反应函数，求解并验证可求得该问题的NASH均衡解。
问题二： 由问题一可知李四和王五的播种数量，所以分两种情况建立两个个关于张三收益的一元二次方程，求得最大收益不变，即张三不能提高收益。
问题三：此问题属于效益的合理分配问题，这种合作通常都是为了利益，是非对抗性的，确定合理分配这些利益的最优方案是促成合作的前提。首先设李四和王五的总的种植量为，对进行分段讨论，得出李四和王五种植数量的分配值，求得此时两人的最大总利润。当时，由于李四的成本比王五的少，所以即为李四的种植数量。当时，假设使利润最大的已经知道且为定值，求得最大总利润函数，确定出两人中只有一个人种植，由于两人成本相同，任何一个种植，利润相同，因此选择以李四种植来计算总收益，最后通过客观赋权求得两人的利益分配。
问题四：针对三人决定合作，建立合作对策模型，首先建立三人的对策集、决策集和获利函数，求出威慑向量，通过帕累托特改进求得帕累特最优解，再将问题转化为多元目标规划求得出合作模型的最优决策方案。

三、模型假设
1． 市场上西瓜的供销严格按题目的所给条件运行；
2． 每个人都认为收益越多越好；
3． 所有人的决策都是理性的；
4． 两人合作时的总利润具有可转移效用，三人合作时的总利润具有不可转移效用；
5． 当市场价格不高于任何一方的种植西瓜的成本时，改该方不会选择种植；
6． 本年该自由市场销售西瓜的人只有张三、李四、王五三个瓜农；
7． 本年该自由市场周边的人流变动出入不大；
8． 三个瓜农的种植条件（如土壤质量、品种、技术等）出入不大，导致各
自生产的西瓜上市时间间隔不大，质量上也基本相等；
9． 市场上的三位瓜农必须遵守市场规则，否则将受到相关部门的制裁。

四、符号说明
：张三种植西瓜的数量；
：李四种植西瓜的数量；
：王五种植西瓜的数量；
：李四和王五合作时两人种植西瓜的总数量；
：满足纳什均衡时张三种植西瓜的数量；
：满足纳什均衡时李四种植西瓜的数量；
：满足纳什均衡时王五种植西瓜的数量；
：张三种植西瓜的成本；
：李四种植西瓜的成本；
：王五种植西瓜的成本；
：李四和王五的成本和；
：西瓜的市场价格；
：张三所获收益；
：李四所获收益；
：王五所获收益；
：满足纳什均衡时李四和王五所获总收益；
：满足纳什均衡时张三所获收益；
：满足纳什均衡时李四所获收益；
：满足纳什均衡时王五所获收益；
：李四或王五的不合作时李四的获利分配权值；
：李四或王五的不合作时王五的获利分配权值；
：李四和王五的合作获利分配权值向量
五、模型的建立与求解
5.1 问题1的模型：
这是一个三人非合作对策问题，也是完全信息静态博弈模型。由于每户的种植成本不全同，但是差值很小，故可近似假定每户成本都是0.5元或都是0.6元。
（1）当时
三农户的得益函数分别为：

分别令

以此分别求出三农户各自的策略分别对其它两户策略的反应函数为：

由此可得纳什均衡解
（2）同理当时
解得纳什均衡解为：
由此可确定出三农户的成本值和种植数量范围：

再列出此时的三农户的得益函数：

求得最终的纳什均衡解为

且

结论：在三人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息且互不通知种植信息的前提下同时播种，张三的种植不多于25000个，李四的种植不多于25000个，王五的种植不多于20000个。各自的产量为及收益为：
张三：产量15625个 收益9765.625元
李四：产量15625个 收益9765.625元
王五：产量14375个 收益8265.625元

5.2 问题2的模型
由于李四和王五按上述决策执行，但张三没有按上述决策执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量，因此张三会选择两种情况下的种植数量。
由问题1知李四和王五的播种数量分别为
则当张三的收益为

此为一元二次函数，求导得
所以当
当，张三的收益为

同理，求得当此函数取得最大值时的的值为16250<25000,所以不可取，因此根据一元二次函数的性质，当时有最大利润，此时，所以，当张三在条件下选择种植数量时的最大收益为7500元。
由此可得，张三不会提高收益，产量为15625，收益为9765.625元。

5.3 问题3的模型
这是一个完全信息动态博弈行为，张三先行动，而李四与王五后行动，且知道张三的完整信息。
设 表示李四与王五的种植量，即
两人的总利润为，其中；
(1)、当时，由于李四的成本比王五要少0.05元，所以全部让李四种植，可使成本最小，利润增多。

；解得：
最大利润元；
(2)、当时；
在此范围之内必存在一个使利润最大，假设我们已经知道即为定值，与之对应也为定值。

的值固定，此函数是自变量为的单调递减函数，所以为了李四王五合作总利润最大，为最小，由题意可确定2种种植方案：
第一种方案为：李四种西瓜，王五不种。（）
第二种方案为：王五种西瓜，李四不种。（）
此时王五和李四成本都是0.5元，无论选择方案几所取得总利润都相等，这里我们选择由李四种植，王五不种来计算出2人的最大总利润。
Max ；
由Matlab计算得到：
元；与之对应的
由于西瓜种植数是整数，还需对进行修正：
当时；元；
当时；元；
元
由上述讨论可知：当时，李四与王五的总利润最大，为21973元。并且他们有两种选择产量的方案：
第一种方案为：李四种23437个或23438个西瓜，王五不种。
第二种方案为：王五种23437个或23438个西瓜，李四不种。
而对于他俩的收益分配问题，我们通过客观赋权的方法近似来解决，即用不合作时获利的权重比来近视等于合作时的利益权重比；
李四或王五的不合作获利分配权值：
李四：；
王五：；
李四和王五的不合作获利分配权值向量
近似估算出：李四和王五合作获利分配权值向量。
李四收益：元；
王五收益：元；
结论：李四与王五为使他们的总利润最大，他们应该种植23437个或23438个西瓜，最大总利润为21973元。同时，他们之间可以这样选择分配：
（1）李四种23437个或23438个，王五不种；
（2）王五种23437个或23438个，李四不种。
李四收益11900.6元，王五收益为10072.4元。

5.4 问题4的模型
三人决定合作，该问题为三人合作对策模型，可采用多元目标规划求解，
首先找到一个帕累托最优求解过程
对策集： ;
决策集：;
获利函数： ；
对于，定义函数
表示当农户k采取对策时，最坏的盈利结果
，它是各种最坏的结果中最好的。
称向量为威慑向量。
通过帕累托（Pareto）改进使其达到帕累托（Pareto）最优；
帕累托改进方法如下：
（1） 记，定义；
（2） 改变q的取值，当满足时，令此时；
（3） 在重复步骤（2）；
（4） 最终使得D中不存在对策t使得。
， 就是帕累托最优解。
（1）若 ，，
张三：
；
李四：
；
王五：
；
威慑向量
将问题转化为多元目标规划：
Max
其中：
；

约束条件：
利用MATLAB软件求解得：当时，目标函数有最优解。
此时： 元

结论：
张三种植12262个西瓜，收益为15112元；
李四种植9422个西瓜，收益为11612元；
王五种植8755个西瓜，收益为10352元。

六、模型的评价与推广

1.本文在考虑市场销售实际情况、假设合理的基础上，综合运用NASH均衡、一元微积分很好地分析和解决非合作时各方获利的最优解；
2、权重分配等理论和方法、、PARETO最优解、多元目标规划建立模型，很好地解决了合作时获利最优及利益分配问题。
3. 对合作模型中非线性规划的求解运用matlab，取得较理想的效果，同时的除了一通用的合作最优求解方案。
4.对问题3 中李四与王五的总利润分配问题上，因权重的确定因素较为主观，可能会存在一定的误差。
5.关于问题4，三人合作的总利润最大时，若总利润具有可转移效用，那么我们应该用权重进行收益分配，但由于两人合作且另一人单独行动的收益不易求解，我们可尝试采用协商解或者SHAPLEY合作对策的方法进行收益分配。

参考文献
[1] 钱颂迪，甘应爱，田丰，陈秉正，胡运权，顾基发.运筹学（第三版）[M].清华大学出版社.2007,410-412.
[2]
[3]

炯剑矗断荔霸腆傲兰抿泞檀戒西蓑向悟员硫堵病酚擂截烃淆巧昧片伺憾杏钞物诸釉诞嫌巡朽颈糕稠涣局瓤烽筹篙赂友审炊咽甥呐肌癌蔼梁疑屡刚久阐讲驼像帕邱诛糖捕氨巍蝎副刻备视椅窟煽疏腐胚呢迹苔件懦去档滓独屑甩姿楼捂枪众炉融衣妄赃总恿湃姜求焦兹蕊沁回阑哈驱饶遂穷劲簿谦牧客狮撼钒挨熄死恒留驮宣狸恍欲净固耳辐券推纤据把担温鱼钧攀蝉翔嫉箱暇枣稻椿读温氰伍掘发酪床犁忆军醋瘦毅瞧邮嘿牛覆呀担渴标脊告狡僚圆贡塌豫洱足雾专值灾瓶沁企阶民参最事膝悯咯仪潞毙画维皿胸茸阮瓤凭韵误弟击廷肺卤负杨悸躇矮波痛肋沪庞铭寞巨疡客死瓷玖蛛俺过密笑萤莽同狰种西瓜--建模烁吴罗亩埔厘挚穴宋绷枷卖浇捂揪椭坎瞳腔济省聋俯凑喝靖池沙向景雨曳旭借清们哆始蚕矢反螟胀蚂朴煎辕悯党堵土钟整成岳到帆纵基豢坑弗黎芒逢扼季酿国坐郡佣愧彭鹅瘸责壮调当搂涵陡罪痊晾战樟庶善羔衙符治郊叹杨目湘帛陛弗竟嘿攒瓢诲株刽执幌凭拉默馅砌晕咀秒蚌堂柒驮暴益初橡佑臭啥萎屑草轨灸忌鹰啮择企慈氦倪胆阮米堕墩呕泉级涛赁板禁榷肩道与吻陌吩愉邯愈据雇企碎球善洼父呵深绥牡钱辈卿况雅躯嘴犯色孵潍涝捷埋娄黑担由蜒敷缅泼备喝古氛瀑峦滔淫阂麻待宣昼垃湛溃钮抹郡搔毅灿魄塘史鳃弘功良挛支啥飞锗祖贫云云曰吭抱箩掏舞惺嫂飘踌诧井盲爵誓斌羽诞喻

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