正边形外接圆上一点到各顶点的距离关系.doc

正邊形外接圓上一點到各頂點的距離關係
王啟光
國立臺灣師大附中

先從一個正三角形外接圓上一點的性質說起：
若P在正三角形ABC外接圓的劣弧AC上，則有. 如圖：

其證明可以利用旋轉或是托勒密(Ptomely)定理來得到。

如圖，作出以A為心，AP為半徑的圓；延長CP與圓交於另一點D, 那麼ΔABP和ΔACD全等，(實際上這步驟就是將ΔABP旋轉60°成為ΔACD)。於
是ΔAPD是正三角形，, 故

得證。
另外，如果對圓內接四邊形ABCP使用托勒密定理，會有

因為正三角形三邊等長，所以得到.
接下來希望能把這個性質推廣到正多邊形，於是先觀察正方形的狀況。如果將P點選取為A點，顯然此時, 並不會有相等的狀況，所以正方形不符合我們的期待。
如果是正五邊形呢？假定P在正五邊形ABCDE外接圓的劣弧AE上，則希
望能證明出.

證明可以模仿正三角形的情形：

將ΔABP旋轉成ΔAEF, 並且將ΔACP旋轉成ΔADG, 連接AG和PF交於H,
那麼有, , ,
計算角度知道以及,
就知道,
於是且,
,
命題得證。
或是另用托勒密定理證明如下：
令, ,
分別在四邊形ABCD、PABC、PBCD以及PCDE用托勒密定理得到
,
,
,
,
於是

,
故得證。
那麼對於正六邊形呢？如同正方形，我們將P點選取為其中一個頂點就不成立了。於是猜測邊數為奇數才成立，也就是想證明底下這個定理：

【定理】
若為正邊形，P為其外接圓劣弧上一點，則
.
【證明】
設此正邊形在單位圓上，
並令, ,
讓所代表的複數為, 那麼我們知道這些為的個複數根。
再設P所代表的複數為, 其中, 則

於是計算

,
再令, ,
那麼為的個複數根，故. 特別地，虛部, 這就是欲證之式。
從證明的過程中也可以知道，如果是正2n邊形時，
, 去計算的時候，在關鍵步驟將不能轉化為, 故此定理對於正2n邊形不成立。
應用上述定理，可以得到一個結果：
設P為圓O內部一點，過P有m條弦，相鄰兩條弦所夾銳角都是, 而這m條弦在圓周上的端點依序為; 若為大於1的奇數，則
.
以的情形為例，圖中五條實線段與五條虛線段的長度和相等。

接下來證明的時候，也先證明的情形比較容易了解。

取各弦的中點，這些中點會在以OP為直徑的圓上，
由圓周角的性質知相鄰兩點在圓周上的弧度都是,
故這五個中點構成正五邊形。
為方便起見，令從P逆時針繞圓所碰到的點依序為,
由上述定理得;
再令以為中點的弦端點中離P較近者為,
其餘各端點依逆時針序為,
那麼P就會介於和()之間。
欲證

.
故得證的情形。
一般情況令,
同樣取各弦的中點，這些中點會在以OP為直徑的圓上，
由圓周角的性質知相鄰兩點在圓周上的弧度都是,
故這m個中點構成正m邊形。
接著令從P逆時針繞圓所碰到的點依序為,
再令以為中點的弦端點中離P較近者為, 其餘各端點依逆時針序為, 那麼P就會介於和()之間。
欲證

,
由前述定理得證命題成立。
-7-