积的算术平方根.doc

二次根式
教学内容
2.积的算术平方根
教学目标
1．知识与技能．
会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．
2．过程与方法．
经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．
重难点、关键
1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．
2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．
3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．
教学准备
1．教师准备：投影仪、制作投影片．
2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．
教学内容
回顾交流，导入新知
课堂复习．（投影显示）
请同学们完成下列各题．
1．填空．
（1）×=______，=_______．
（2）×=________，=_______．
（3）=________，=________．
参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．
×_______，×______，
______．
2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）
（1）×_______ （2）×_______
（3）×_______ （4）×_______
学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算中容易得出×＝，×＝，＝；运用计算器同样可以得到×＝，×＝．
教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．
教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．
师生共识：二次根式乘法法则·＝（a≥0，b≥0）．
引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因为当a<0，b<0时，虽然有意义，而，在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3，则＝有意义，但却无意义．
范例学习，提高认知
1．例1：计算．
（1）× （2）4×2
教师板书：（1）×==7；
（2）4×2=4×2=8=40．
学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．
随堂练习，理解新知
1．计算下列各式．
（1）× （2）× （3）6×（-2）
2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．
教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）被开方数相乘，根指数不变；（2）最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．
继续探究，拓展延伸
1．例2：计算．
（1）3
思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．
教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a·10b=50ab，这样就有6，再把50化成5×2，把5开出来有：30；（2）中出现10-1意义，关于10-1意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=，这样（2）可用乘法法则化成=x．
评析：这里补充例2，其意图是对例1的拓展，这里用到=│a│，当然，本章没有特殊说明，字母均表示正数．
2．课堂演练．
计算．
（1）
学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．
教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用．
逆向思维，专题讨论
乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）（投影显示）
教师讲述：请同学们观察·＝，由于这是一个等式，因此也可以这样写法：=·（a≥0，b≥0），这里运用了数学中的逆向思维，由=·可以得出积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a≥0，b≥0．
范例学习，加深理解
1．例3：化简．
（1）              （2）
思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2）应先分解因数，即：，然后再运用性质解题．
教师讲例：（1）=×=5×9=45；
（2）==10×2×=20．
学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．
方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，上述例题用到了=a（a≥0）．
2．例4：化简．
（1）
思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a2+y2这个式子，请注意这个式子不能再开方了．
师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，请一位学生上讲台来讲解例4．
学生解答：（1）·=3xy；
（2）.
评析：由例4可以看出，在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．
课堂练习，巩固新知
1．课本P7“做一做”．
2．探究时空．
（1）化简．
（2）一个长方形的长a=cm，宽b=cm，求这个长方形的面积．
（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．
课堂小结
本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．
布置作业 1．课本P9习题22．2第1、2（1）～（3）、3题．