小费再谈角的三等分.doc

小费再谈“三等分任意角”
贵州省思南县许家坝中学 费永军
“三等分任意角”这一著名难题2400多年来一直令人绞尽脑汁而不得其解。自从写出了《小费细解“三等分任意角”》后有人提出了异议：“它算不上平面尺规作图，而是空间上的三等分任意角。”在该方案中是将角转化为扇形，扇形转化为圆锥，而圆锥底部刚好是一个圆，利用三等分圆的方法很轻松就可把圆三等分，再展开便为扇形，即可把扇形的弧三等分。在此笔者又有一方案可以把角三等分与君共勉，不知是否合理，希望得到方家斧正。
先作锐角的三等分再讨论其他任意角的三等分，用尺规三等分锐角（或直角），可按以下步骤完成。
一、 在平面上作一任意锐角（或直角），∠BAC如图：

二、 以∠ BAC的顶点A为任意圆周上的一点，以角的任意一边（如AB）上作为直径作一圆O，圆心为O，如图：

三、 过圆心O向AC作一直线使之与圆O交于E点，与AC交于D点，并使EA=ED（直角的EA=ED=OE），连接AE,再作∠ EAB的平分线AF，则AE、AF即可把∠ BAC三等分。如图：

证明：由作图可知EA=ED
则∠EAD=∠EDA
因为∠OEA是三角形EAD的一外角
所以∠OEA=∠EAD+∠EDA=2∠EAD
又因为OE=OA（同圆半径相等）
所以∠OAE=∠OEA
所以∠OAE=2∠EAD
所以线AE是∠BAC三等分的其中一条线
AF是∠BAC的平分线
所以3∠BAF=3∠FAE=3∠EAD=∠BAC
说明：此作法的关键是过圆心向另一条边作EA=ED，它需要一边用直尺过圆心，同时用圆规量取使EA=ED方能成功，否则失败。
由此锐角（或直角）能三等分，而大于90o角怎么办呢？笔者认为可以把这类角分成一个或几个直角与锐角相加的形式，亦或多个锐角相加的形式。如钝角（大于90o小于或等于180o）可以分为一直角与一锐角相加形式，直角的三等分可按上述的方法三等分角（亦可用其他方法三等分直角），而剩下的锐角亦按上述方法三等分角，把两次所分的三等分角中各取一个角相拼即可得该钝角三等分的一个角，再把余下部分平分即可；大于180o而小于270o的角，可用上述方法把该角分成两个直角与一个锐角相加，与上述钝角作法相同，只是用三个小角相加而已（亦可分成180o角与一锐角相加的形式，把180o角三等分后与锐角三等分后各取一小角相加）；大于或等于270o小于360o的角，则可以作该角的反向角锐角的三等分，然后作其平分线的反向延长线即可，其方法与上述方法一致。任意角亦可分成多个锐角（或直角）的方法，将其一一三等分后各取其三等分之一相加得该任意角的三分之一角。
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