几何学的发展.doc

几何学的发展
一、近代射影几何——综合几何的发展
　　自从笛卡儿等人创立解析几何以后，代数的和分析的方法统治着几何学，综合的方法受到了排斥．但是，优美而直观、清晰的几何方法，一直吸引着不少几何学家．19世纪初，不少著名的数学家指出，综合几何——用综合的方法对几何进行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此应该积极努力地来复兴和扩展综合几何．
　　以庞斯列(J．V．Poncelet，1788—1867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方法进行探讨．他们取得了丰硕的成果，这些成果在19世纪早期是几何学的主流．为了和笛卡儿的解析几何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近代综合几何．
　　实际上，这种近代综合几何是17世纪帕斯卡、德扎格等人开创的射影几何的复兴，因而又被人称为近代射影几何．
　　综合的欧几里得几何学在19世纪初取得了一些新成果，产生了数以百计的新定理．
　　19世纪综合几何的主要成就是射影几何学的复兴．射影几何学在17世纪曾有过突出的成就，但却被解析几何、微积分淹没了．数学家们经过论战，终于在19世纪为综合几何赢得了较高的地位．
　　综合几何尤其是射影几何在19世纪的兴起主要应归功于以蒙日(G．Monge，1746—1818)为首的法国数学家．他是法国拿破仑时代数学界的导师，也是一位优秀的教师，大批的优秀几何学家都是在他的直接教导和影响下成长起来的，其中就有庞斯列和卡诺．
　　射影几何学的复兴始于卡诺(L．N．M．Carnot，1753—1823)，他是蒙日的学生，物理学家S．卡诺的父亲．他是受蒙日的影响研究几何学．1803年，出版了《位置几何学》(Géomé-trie de Position)，1806年版了《横截线论》(Essai SurLa théorie des transversales)，在这些书中，他导出了完全四边形和完全四角形的性质，并且引入了种种有价值的射影几何理论，他试图证明射影几何方法并不比解析几何方法逊色．
　　庞斯列在俄罗斯的监狱中给纯粹的几何方法注入了新的生命力．1822年，他的研究成果《图形的射影性质》(Traité despropriétés projectives des figures)在巴黎出版．这本书内容极为丰富，它所研究的是那些在射影时保持不变的性质．平面图形的某些度量性质(如距离、角度)在投影时有所变化，但有些却不变，如四条相交于一点的直线被一截线所割，截点分别是A，B，C，D，则(AB∶BC)∶(AD∶DC)不变．他称(AB∶BC)∶(AD∶DC)为点列的反调和比或交比．他详细讨论了交比、射影对应、对合变换、圆上虚渺点等基本概念．
　　庞斯列在射影几何方面的工作以三个观念为中心：(1)透射的图形；(2)连续性原理；(3)圆锥曲线的极点与极线．以这些观念为中心，他奠定了射影几何的基础．
　　19世纪射影几何的一个重要成就是建立了对偶(duality)原理．庞斯列等人认识到，涉及平面图形的定理，如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”，重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的．这是为什么呢？为此数学家们展开了争论，庞斯列队为配极关系是其原因．
　　热尔岗(Joseph－Diez Gergonne，1771—1859)则坚决主张对偶原理是一个普遍性原理，适用于除了涉及度量性质之外的一切陈述和定理，配极关系是不必要的中介．他首先引入“对偶性”这个术语来表示原定理与新的对偶定理之间的关系．他还注意到在三维的情形中点与面是对偶的元素，线的对偶元素是自身．
　　热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的定理并排写在原来命题的旁边．下面我们看看德扎格定理及其对偶：
　　　　　德扎格定理 　　　　　　　　　　　　　　　德扎格定理的对偶
　　如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O，那么对应边相交的三个点在同一条 线上．
　　如果有二个三角形，联接对应边的点在同一条线O上， 那么 对应顶点相连的三条线过同一个点．
　　我们看到德扎格定理的对偶也是正确的，实际上它是原来定理的道定理．
　　瑞士数学家施泰纳(J．Steiner，1796—1863)建立了射影几何学的严密系统，他把卡诺在完全四边形方面的工作推广到空间多边形，完成了点列、线束、二项曲线及曲面的理论，讨论了圆锥曲线的种种性质．其主要著作是1832年出版的《几何形的相互依赖性的系统发展》(Systematische Entwicklungder Abh ngigkeit geometrischen Gestalten Voneinaader)，这本书的主要原理是运用射影的概念从简单的结构(如点、线、线束、面、面束)建造出更复杂的结构．1867年他又对射影几何的原理作了详细说明．
　　施泰纳从开始研究几何时就使用对偶原理，他把圆锥曲线的对偶化称为线曲线，把作为点的轨迹的通常的曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一条线曲线．在圆锥曲线的情形就构成对偶曲线．利用圆锥曲线的对偶概念，可以把许多圆锥曲线定理如帕斯卡定理换成其对偶命题．
　　沙勒(M．Chasles，1793—1880)指出，从对偶原理来看，在射影几何中线可以同点一样基本．他引进了一些新的术语，如把“交比”称为“非调和比”，称将点变成线、线变成点的变换为对射，等等．
　　长期以来，人们对射影几何与欧氏几何的关系一直不清楚．1847年，德国数学家斯陶特(K．G．C．V．Staudt，1798—1867)出版的《位置几何学》(Geometrie der Lage)澄清了这方面的关系，他指出，射影几何完全可以摆脱长度的概念．例如：“交比”是一个基本概念，他
地不依靠长度和迭合的概念就得到了建立射影几何的基本工具．因此，他指出射影几何学实际上比欧氏几何还基本，射影几何学是与距离和角的大小无关的学科，欧氏几何实际上可以看作射影几何的特例．这样，斯陶特完全摆脱了代数和度量的关系，建立了“纯粹”的综合几何理论．
　　射影几何从古希腊起就已出现，17世纪德扎格、帕斯卡又进一步发展了，到19世纪中叶，已经发展成了一门十分成熟的学科，占据着几何学乃至数学的重要地位．
二、非欧几何的建立
　　从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功．尽管如此，19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)、沃利斯、萨凯里(G．Saccheri，1667—1733)、克莱罗、兰伯特、勒让德、普雷菲尔(J．Playfair，1748—1819)等等．
　　萨凯里的工作最值得重视，在1733年发表的论文中，他从一个四边形ABCD开始，其中A和B是直角，且AC＝BD，(图13．2)易证∠C＝∠D，欧氏几何平行公设相当于∠C，∠D是直角这个论断，于是他在下列两种情形中选择：

　　(1)钝角假设：∠C、∠D是钝角；
　　(2)锐角假设：∠C、∠D是锐角．
　　他首先证明第1种情形不可能．其次，他在考虑第二个假设时，没有得到任何矛盾，并且得到了许多有趣的定理，本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何，但他缺乏理论勇气，以“结论不合情理”而否认了．胜利的果实滑到嘴边又溜走了．
　　数学王子高斯在18世纪就知道要证明平行公设是徒劳的，并且在15岁时已经掌握了能够存在一种逻辑几何的思想，其中欧氏平行公设不成立，他在思想上是非常解放的，丝毫不会为传统观念所左右，也不为科学泰斗所吓倒．从1813年他就开始发展新几何，起初他称反欧几何(anti-Euclidean Geometry)，星空几何，最后称非欧(Non－Euclidean)几何，他认为非欧几何在逻辑上是相容，并且具有欧氏几何一样的可应用性．但他在行动上一向谨小慎微，怕受人奚落，不为人理解，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说．
　　1826年2月12日，俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了《论几何原理》一文①，宣告了非欧几何的创立．1835—1837年，他发表《具有平行的完全理论的几何新基础》，较好地表达了他的思想，他称他的新几何为“虚几何”．1840年用德文出版了《平行理论的几何研究》(GeometrischeUntersuchun－genZurTheoriederparalle-llinien)，在双目失明后仍口授出一部关于他的几何的完全新的说明，于1855年以《泛几何》而出版．

　　几乎与此同时，匈牙利军官波尔约(J．Bolyai)在1825年左右已建立起非欧几何思想，并于1832—1833年以《绝对空间的几何》一文作为其父沃夫冈·波尔约(WolfgangBolyai，1775—1856)《为好学青年的数学原理论著》的附录出版了．他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何．
　　高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明，平行公设是欧氏几何中独立的和必不可少的，非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题，并从与此组成的一组新公理中，重新建立一种几何．
　　罗巴切夫斯基放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点(C)作垂线α垂直于已知直线(AB)，并从该点向直线作平行线；记F(α)为α和平行线间的角”．在图13．3中，

　　过点C的所有直线关于直线AB可以分成两类，一类直线与AB相交，另一类不相交．直线p与q属于后一类，构成相交与不相交两类直线的边界．F(α)是AB的垂线α与过C的AB的平行线间的角，称为平行角．在罗巴切夫斯基几何中，过C与AB平行的直线有无穷条．这正与欧氏几何中“过定直线外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照．

角形的内角之和恒小于π，且随着三角形面积的增大而减小，当面积趋于零时，它就趋于π．
“假设三角形内角和小于π，就导致出圆随半径的增长不趋于直线，而趋于一特种曲线，我们称它为极限圆．球面在这种情况下也趋向于一曲面，类似地，我们称它为极限球面．”

　　对于图13．4中的球面三角形，他给出了公式
　　ctgF(α)=ctgF(c)sinA，
　　sinA＝cosB sinF(b)，
　　sinF(c)＝sinF(a)sinF(b)．
　　“一般说来，在直角三角形中，a，b为直角边，π-2ω为各角和，则有

　　因而三角形越小，它的各角之和同两直线的区别越小．”
　　根据对无穷小三角形的研究，罗巴切夫斯基还得出了曲线y＝f(x)在(x，y)处的弧微分公式

　　于是，半径为r的圆周长c=π(er－e-r)，圆面积A＝π(
　　随后，他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理．非欧几何的一种形式——罗巴切夫斯基几何已经建立起来，“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在于自然界中，那也可以存在于我们的虚想之中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相利用，却开拓了一个新的、广阔的领域．”
　　非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义．它使人们认识到，平行公设不能在其它公设的基础上证明，它是独立的命题，因而可以采用一个与之矛盾的公理并进而发展成为全新的几何．
三、微分几何
　　19世纪微分几何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的．不仅如此，高斯还提出了一个全新的概念：一张曲面本身就是一个空间，这个概念随后为黎曼所推广．并且由此确立了罗巴切夫斯基几何的“合法”地位，从而在非欧几何中开辟了新的发展道路．
　　空间曲线理论在19世纪日趋完善．1826年，柯西在他的名著《无穷小计算在几何上的应用教程》(Applications du Cal-cul infinitésimal á la géemétrie)中，改进了一些新的概念并且澄清了空间曲线理论中

　　其中cosα，cosβ，cosγ是 直线的方向余弦，这在今天已成标准形式．他取弧长作自变量(s)，从而得到空间曲线任一点处切线的方向余弦　
　　柯西把切线和主法线决定的平面作为密切平面，这个平面的法线是次法线，而次法线的方向余弦cosL，cosM，cosN由下列公式给出：

和挠率确定以后，曲线就几乎被完全决定了．弗朗内(F．J．Frénet，1816—1900)、塞雷(J．A．Serret，1819—1885)分别于1847年，1851年发现了上述柯西的切线、次法线的方向余弦的导数公式，同时还发现了法线的方向余弦的导数公式：

　　这三个公式就是空间曲线理论中著名的弗朗内—塞雷公式．用向量表示为：

　　称为曲线论的基本公式．
　　1828年，高斯发表《关于曲面的一般研究》(Disquisitio-ns Generales Circa Superficies Curvas)一文(完成于1827年)，对微分几何的进展起了决定性的作用，给出了今天教科书中曲面论的大多数结果．
　　高斯利用欧拉的参数u，v表示曲面的思想，将曲面方程写成x＝x(u，v)，y＝y(u，v)，z＝z(u，v)．他的出发点就是利用参数表示来进行曲面的系统研究．

　　E， F， G称为第一类基本量，在曲面上每一点都是常数．
　　接着，他又开始考虑另一个基本量——曲面上两条曲线之间的夹角θ．对于从(u，v)出发的曲线上的两条曲线，一个由du∶dv给定，一个由δu∶δv给定，高斯证明了两条曲线之间的夹角θ满足

L，M，N称为第二类基本量．
　　进行了这些准备工作后，高斯证明了曲面的全曲率公式K，并且证明他的K就是欧拉在18世纪提出的两个主曲率k1，k2的乘积，即K＝

变量．
　　引进这些基本量以后，高斯又考察了曲面的许多性质．他特别对曲

且两张曲面对应点的距离元素相等，即
E1du2+2F1dudv＋G1dv2=E2du2+2F2dudv＋G2dv2．

　　这个公式称为高斯特征方程．1860年，巴尔策尔(R．Baltzer，1818—1887)改写为

　　它揭示了第一、二类基本量之间的关系．有了这个关系式后，高斯于1826年得到了“高斯定理”：一个曲面的全曲率被曲面的第一类基本量完全确定，等距曲面在对应点一定有相同的全曲率．他称这个定理为“极妙的定理”．
　　迈因纳尔迪(G．Mainard，1800—1879)在1857年，科达齐(D．Codazzi，1824—1875)在1868年分别得到了方程(今天称之为迈因纳尔迪—科达齐方程)：

　　这两个方程与高斯特征方程一起构成曲面论的基本方程．
　　1867年，邦内(O．Bonnet，1819—1892)证明了：如果给定了u和v的六个函数E，F，G和L，M，N，它们满足曲面论的基本方程，则它们除了在空间的位置和定向外，唯一地确定了这张曲面．
　　1861年，魏恩加滕(J．Weingarten)发现了“魏恩加滕公式”：

　　这个公式与下列高斯公式一起构成了“曲面的基本公式”，它们在曲面论里的作用相当于弗朗内—塞雷公式在曲线论里的作用．高斯公式是

　　当F＝0时，曲面论的基本方程与曲面论的基本公式都可以大为简化．
　　在1827年的文章中，高斯还研究了另一个十分重要的课题——寻找曲面上的测地线．测地线这一名称是列维尔在1850年引进的，取自大地测量学．测地线在今天的微分几何教材中又称短程线．对于一个由测地线构成的三角形，高斯证明了一条关于曲率的著名定理．设k是一个曲　
表明，在一个测地三角形上曲率的积分等于三个角之和超过π之盈量，或在三角形之和小于180°时，等于三个角之和不足π之亏量．

　　若Γ是曲面上的测地(短程)多边形，则一般地有

　　后来，邦内把高斯的结果推广，对曲面∑上的单连通域∑1和它的边界线Γ，得到了高斯—邦内公式：

　　其中kg为Γ的短程曲率，τ为由方向余弦到Γ的切线矢的有向角．
　　高斯在曲面保角变换方面也进行了十分有价值的工作，并由此而获得了丹麦皇家科学会的奖金．
　　高斯证明了曲面的几何可以集中在曲面本身进行研究，曲面本身就可以看成是一个空间，因为它的全部性质都被ds2＝Edu2+2Fdudv＋Gdv2确定了，这样就可以抛弃以往的观念：曲面是位于一个三维空间中．这样就意味着，如果把曲面本身看作是一个空间的话，至少在曲面上就有非欧几何；而且，由于一张曲面由E，F，G确定，于是曲面就有E，F，G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间毫无关系，因此随着E，F和G的不同的选取，同一张曲面可以有不同的几何．
　　这样，我们就可以轻而易举地在欧氏几何曲面上实现非欧几何了．如果把球面看成三维空间中的一张曲面，球面的几何就是欧氏的；但如果把球面本身当作一个空间来研究，取纬度和经度作为点的坐标，大圆弧就是“直线”(称为测地线或“短程线”)，这样的几何就是一种非欧几何．这样得到的空间是一个二维的正的常曲率空间，这样的几何在今天称为二重椭圆几何．这种非欧几何模型曲面的例子是黎曼在1854年给出的．
　　1868年，意大利数学家贝尔特拉米(E．Bèltrami，1835—1900)独立而成功地找到了非欧几何模型，在数学史上使罗巴切夫斯基等人开创的非欧几何得到了举世公认，在整个科学史乃至人类思想史上具有十分重大的意义．
　　贝尔特拉米是通过研究具有常数全曲率的曲面而作出这一重大发现的．从高斯起人们就知道，具有相同的常数全曲率k的曲面互相等距等价，因而有相同的内蕴性质．当常数k＝0时，曲面和平面等距等价；

识到k＝0时的几何实质上就是欧氏几何；k＞0时的几何，1854年黎曼发现是一种非欧几何——椭圆几何学．1868年，贝尔特拉米发现，如果令yz平面上的曳物线

　　绕z轴旋转，即得到伪球面

质上就是罗巴切夫斯基几何——双曲几何．这样具有负常数全曲率的曲面的内在几何与双曲几何的关系就被发现了．
　　19世纪微分几何的第三个里程碑是黎曼奠定的．他在几何领域中是高斯的忠实追随者和发扬光大者．1854年，高斯给黎曼指定以几何基础作为他取得大学教授资格应作的演说，当时能听懂他的报告的，只有已入暮年的高斯．他的1854年的演讲稿后来以《关于作为几何学基础的假说》(Ueber die Hypothesen，wel-che der Geometrie Zu Grunde liegen)于1868年出版了．这篇文章已经成了数学史上的经典著作．
　　黎曼几何的主要工作是把通常熟悉的三维空间推广到n维空间中的m维可微流形．对于同一张曲面可以有ds2=dx2＋dy2＋dz2，而ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2．随着E，F，G的不同可以有不同的几何，因此选取ds2的不同表达式，就可以得到完全不同的几何——一种非欧几何，这种思想本来是属于高斯的，在1854年的论文中，黎曼把这种研究曲面时的思想推广到任意n维空间，提出了这样的观念，对于n维空间点集中的每一个点用n个坐标(x1，x2，…，xn)表示，而空间一条曲线xi＝xi(t)，i＝1，2，…，n的弧长微分ds，就可以用一个恒正二次齐式表示出来：ds2=∑gijxixj．研究由黎曼所引进的这种空间的几何学在今天就称为黎曼空间几何学．高斯等人所研究的曲面的内在几何学中的主要内容都可以推广到几维黎曼空间，而曲面的内在几何学可以看作是二维的黎曼空间几何．如对于t＝α和t＝β之间的曲线可以给出长度l＝　
　　这方面，黎曼给出了依赖于流形的性质而不依赖于所采用的特殊坐标系的程序．
　　黎曼几何的另一件重要的工作是改进、引进了许多新的记号．如黎

—1900)正式引入了各种形式的“克里斯托费尔记号”：

　　黎曼引进了现在通称的“黎曼四指标记号”

　　“克里斯托费尔四指标记号”则是克里斯托费尔仿照黎曼引进的：

引入这些记号后，从而开始了张量演算．
　　贝尔特拉米不仅详细研究了具有负常数全曲率的曲面，而且他还第一个对曲面论的不变量作了深入详细的研究，由此开创了19世纪人们对不变量的广泛研究．微分不变量理论以及黎曼等人引入的记号对张量分析起了积极的推动作用．张量分析由里奇(C．G．Ricci，1853—1925)和列维—齐维塔(T．Levi—civi-ta，1873—1941)在20世纪初，发展成一门独立的学科，1916年爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955)给出了“张量分析”这个名称．
　　黎曼几何倍受物理学家青睐，尤其是爱因斯坦创立相对论大量应用了它，同时爱因斯坦也对此作出了贡献．翻开《爱因斯坦文集》，看到里面有那么多地方利用了黎曼几何，赞美了黎曼及其几何，我们就不难理解黎曼几何的重要性．黎曼几何还为现代微分几何奠定了基础．
四、爱尔兰根纲领
(Erlangen Programm)
　　19世纪初叶射影几何重新为人们重视后，不仅有数学家从“纯粹”综合的角度进行研究，而且随着研究的进一步深入，有不少数学家开始从代数甚至从群论的角皮进行探讨，这样几何学的研究就进入了一个新的时期．不仅射影几何有了进一步的发展，而且各种度量几何的内在关系也逐渐为人们揭示了．

　　ücker，1801—1868)从代数方面发展了射影几何．他们的工作之一是引进了齐次坐标．普吕克还对几何观念给出了优美的代数表示，利用齐次坐标，他给出了无穷远线、圆上无穷远点等等许多概念的代数表示．他积极地利用射影的概念研究高次平面曲线和高次曲面，得到了许多重要的结果．
　　在斯陶特弄清楚了射影几何与欧氏几何的关系后，数学家们开始根据射影概念进行建立欧氏几何度量性质的工作．拉盖尔(E．Laguerre，

　　其中(uu′，ww′)是u，u′及两条虚直线w，w′四条直线的交比，i为虚单位．
　　凯莱引入二次型及双线性型

F(x，x)＝0为一条二次曲线即凯莱绝对型．绝对型的线坐标方

子式．有了这些准备工作后，他定义两点x=(x1，x2，x3)及y＝(y1，y2，y3)间的距离δ，

线坐标为u＝(u1，u2，u3)及v=(v1，v2，v3)的两直线的夹

行列式中aij的代数余子式．
　　这样，长度和角度这些度量的性质也可以用射影关系来决定了．因此当时人们就说：“度量几何也仅仅只是射影几何的一部分．”1859年，凯莱甚至说：“射影几何是所有的几何，反之亦然．”
　　不仅如此，19世纪中叶以后，几何学的种类如雨后春笋般不断涌现．面对这种形势，人们发现，利用图形在变换下的性质，可以发现从欧氏几何到射影几何之间的关系．客观形势向人们提出这样的问题：能否用协调一致的观点来统一已有的几何：欧氏几何，非欧几何，射影几何，仿射几何，等等．这件工作历史地落到了F．克莱因的肩上．
　　F．克莱因(Fleix Klein，1849—1925)是天才的德国数学家，在几何学方面他的工作是19世纪统一数学的重要方面．在几何学的具体工作方面，他第一个认识到无需用曲面也可以获得非欧几何模型；成功地证明了依赖于绝对形性质的凯莱度量将产生双曲几何与二重椭圆几何；提出了单重椭圆曲面模型，等等．他还引进了许多新的术语．他彻底弄清了射影几何的基本地位，这一工作为几何公理化铺平了道路．
　　F．克莱因在几何学方面的杰出贡献，是他在1872年向爱尔兰根大学哲学教授会和评议会所作的就职演说．他以自己的工作和李(Sophus Lie，1842—1899)在群论方面的工作为基础，对当时的几何学做了整理分类，并且提出了研究几何学的新的有效的途径．这个演说连同他所提出的几何学研究大纲，被人们称为“爱尔兰根大纲”．今天，“爱尔兰根大纲”系指：《关于现代几何学研究的比较考察——1872年在爱尔兰根大学评议会及哲学院开学典礼上提出的纲要》．
　　F．克莱因的基本观点是，每种几何都由变换群刻划．为此他给出了一个著名的定义——几何学，是当集合S的元素经过某种变换群G中所包含的变换时，集合S保持不变的那些性质的研究，记为(S，G)．每种几何要做的工作就是考虑在某个变换群中的不变量；一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一族不变量．这个纲领使得一些数学家认为，全部数学可以通过群论而统一．
　　按照F．克莱因的观点，几种主要几何间的关系是这样的：

　　爱尔兰根纲领包括十大部分：一、空间变换群，主群一般性问题的提出；二、一个包含另一个连接起来的变换群，几何学研究的各种类型及其相互关系；三、射影几何学；四、用基础流形的一个变换建立的相互关系；五、空间元素选择的任意性，海赛(Hesse)相关原理，线几何学；六、反演几何学关于x+iy的解释；七、前述内容的推广、李球几何学；八、建立在点变换群基础上的其它方法；九、全体切触变换群；十、关于任意维流形．
　　爱尔兰根纲领的思想统治几何学长达五十年之久，后来人们发现有些新的几何分支如代数几何和新发展的微分几何都不能纳入爱尔兰根分类方案．但这个纲领却对数学发展尤其是几何、群论的发展产生了深远影响，同时还对物理学尤其是狭义相对论产生了积极影响．