反证法在数学中的应用.doc

论文编码：O1-0
摘 要
反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、 掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。

关键词：反证法 逻辑基础 教学方法 适用范围；

Abstract
Apagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the class.Last,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously.

Keywords：Apagoge ;Logical basis; Teaching methods; Scope;

第 15 页
目录
第 1 章 反证法概解
1.1反证法的由来 3
1.2 反证法的定义 3
1.3 反证法的逻辑基础 3
1.3.1 反证法的出发点 3
1.3.2 反证法的推理过程 4
1.3.3 反证法的逻辑基础 4
1.4 反证法的分类 4
第 2 章 反证法在中学数学的适用范围以及例题
2.1 基本定理或初始命题的证明 6
2.2 否定性命题 6
2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题 6
2.4 无穷型命题 8
第 3 章 应用反证法应注意的问题
3.1 反设要正确 9
3.2 明确推理特点 9
3.3 善于灵活运用 9
第 4 章 反证法的教学价值及建议
4.1 反证法的教学价值 10
4.2 反证法的教学建议 11
第 5 章 总结
致 谢 14
参考文献 15

前 言
世界上任何一个生命的诞生就不由自主的与数学有了扯不清的关系，有可能成为学习的主体、还有可能变成被统计的对象。数学反证法是非常常见的数学证明方法之一。在证明一个命题的时候，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的结论推理导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了‘结论反面成立’的假设是错误的，从而达到了证明结论正确的目的，这就是反证法。反证法的优势在于把要证明的结论当做已知条件，在我们证明过程中冥冥中就多了一个条件。显而易见的，一道证明题，当我们无法从正面入手的时候反证法就发挥出了它天生的威力。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
反证法的美在于它思考问题的方式，对于任何一个没接触的人来说这种方法是非常巧妙的。

第 1 章 反证法概解
1.1反证法的由来
反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。随着的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑走上了数学的舞台。此时西方数学
成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性。表现形式就是:逻辑、演绎的体系。可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。希腊人重视逻辑和演绎的证明，反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中。
法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要且基本的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。
1.2 反证法的定义
反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
维基百科中这样描述“反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立。
反证法从属于间接证明法的范畴，是从反面考虑问题的证明方法，既方便又实用。
1.3 反证法的逻辑基础
反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛应用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本得事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。
1.3.1 反证法的出发点
第一步就是要否定论题，构造与原论题具备矛盾关系的矛盾论题。然后从矛盾论题出发，进行推理。而不是从，或，或，或出发。
1.3.2 反证法的推理过程
反证法的推理过程，必须保证是合乎逻辑的，并且要用否定的结论作为推理的前提依据，否则便不会倒出矛盾。另外，还必须要求题设作为真命题，在推理过程中作为前提使用，或者与推理结果相矛盾而发生作用。
综上反证法即指从“题设与假设”出发，推出结果记为，或者写成“”成立，可以是与公理、定义、已证明的定理或当作真命题题设相矛盾；也可以本身包含两个结果互相矛盾。
1.3.3 反证法的逻辑基础
反证法由导出矛盾“”，而判定矛盾论题“”不成立，从而肯定论题正确。其逻辑依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
矛盾律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系或反对关系的两个判断不能同真，必有一假。若已知其中一个为真，则可判断另一个必假。所谓推出“矛盾”是指推出结果与已知真命题之间的矛盾，这时与已知真命题之间成立是矛盾关系或反对关系，故根据矛盾律必有假。由“”和“假”这两个真判断出发，可推出假。
排中律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系的两个判断，不能同为假，必有一真。若已知其中一个为假，则必有为真。

这里，我们指出论题和反论题、假设和结论间的矛盾 ，导出结果和真命题间的矛盾是有区别的。原因在于作出假设与推出结果的目的不同，为达到论证目的所根据的逻辑规律——矛盾律与排中律的适用范围也不尽相同。矛盾律对矛盾关系和反对关系的判断都适用，所以结果与已知真命题既可以是矛盾关系，也可以是反对关系，推出与已知真命题相矛盾的结果，就是为了依据矛盾律由已知真命题断定为假，从而达到矛盾论题为假。排中律只使用于具有矛盾关系的判断，所做出的假设与结论，反论题与论题只能是矛盾关系，借依排中律由假推真。
1.4 反证法的分类

1.4.1 归谬法
若命题的反面只有一种情形，则只需把这一种情形驳倒，便可达到反正的目的。
例 1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。
已知：,
求证：
现用反证法予以证明。

假设与不平行，
则
、

临时假设。
故。
1.4.2 穷举法
若命题题段反面不止一种情况，则必须将其逐一驳倒，才能间接证明梯段的正面成立。这就叫穷举反正。
例 2 若则有
证明：假若不然，则有
与题设矛盾；
与题设矛盾。
因此，

第 2 章 反证法在中学数学的适用范围以及例题
在上一章中我们主要介绍了一些反证法的概念，对于反正法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解，反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目，但是它像直接证明一样总有局限性，在这一章中我们主要介绍常用反证法的几类题目。
2.1 基本定理或初始命题的证明

在各数学分支中，按照公理化方法最初建立的是不多的定义、公理，某些基本定理或初始命题难以找到直接证明的论据，在这种情况下，反证法是我们的首选。
图1
例 1 求证：在一个三角形中，不能有两个角
是钝角.
证明：已知是三角形 的
三个内角.（如图1）
求证：中不能有两个钝角.
证明：假如 中有两个钝角，不妨设，则.这与“三角形内角和为”这一定理相矛盾.故均大于不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.
2.2 否定性命题
结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题，直接证法不容易入手，反证法可以发挥它的作用。
例 2 求证:若为自然数 ,则不能被15整除。
证明：假设能被15整除,则必然能被5整除
的尾数必然为5或0,
又 为偶数
的尾数必然为0,即的尾数必然为8。
对任意自然数的尾数均不为8,所以假设错误。
2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题
例 3 当时，试证方程多于和中，至少有一个方程有实数根。
分析：“至少有一个”就是“有一个”，“有两个”，……，然而很容易理解它的反面是“一个都没有”，属于存在性问题，宜用反证法。
证明：假设两个方程，都没有实根，即，
.
所以
又

矛盾
所以说明和中至少有一个方程有实数根。
说明：遇到存在性问题，作出与命题结论相反的假设时要认真弄清题意。
例 4 试证: 存在无穷多个质数。
证明: 设质数只有个: ，……,取正整数……,不能被这个
质数中的任一个整除，因用这个质数。的任一个去除,余数都是1.因此,或者本身就是质数(显然不等于 中任一个),或者还含有除这个质数外的质因数,这些都与质数仅有个的反设是矛盾的,故质数个数不能是有限的,即是无限的。
说明：对于这类命题,如果从正面去讨论一个无限的对象具有某种性质其工程经常非常浩大,以至不可能实施.当采用反证法时,就可把无限转化为有限.这样,论证起来自然就要简单确定得多。
例 5 设函数 都是上的实值函数，
证明：存在使得1.
分析:本题所涉及到的函数都是抽象函数，在这类题中想从正面直接找出比较困难，这时从反面入手，通过验证不成立，来肯定结论.
证明：假设对任意的都有 ，则
当时，有
当时，有
当时，有
当时，有
由不等式的性质有：

,使得.
例 6 是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
对任意的，都有；
‚存在常数，使得对任意的，都有. 设 , 如果存在 使得,证明这样的是惟一的.
分析:假设不惟一，也即存在另外的满足条件的根，假设存在外的另一实数满足条件，导出与惟一性相矛盾的结论.
证明：假设存在另一实数,使得.
,由‚得,即,
又，显然上式不成立.
故假设不成立，从而原命题成立.
点拨：抽象函数因为其抽象性是我们的死角，一定要注意归纳、总结. 反证法能够为抽象函数的证明带来很多便利，因而一定要注意反证法的娴熟应用。

2.4 无穷型命题
例 7 质数的个数是无穷的
分析：无穷型命题直接从正面证明很难，从反面证明将无穷转化为有穷是反证法最能显现出它优势的。反证法的出现,无非是为了解决人类思维中的一个结症——无限思维。在西方证明数学里,极其重视证明过程中逻辑的严密性。因此第一次数学危机和第二次数学危机都与无限有关,即无理数(无限不循环小数)和无穷小(极限问题)西方数学家不能给无理数和无穷小以准确的定义,也不能解释与之有关的(芝诺提出的)两个悖论。因此在处理无限的问题上,借助逻辑中介(反证法)化无限为有限,再去完成其证明。
证明：假设质数有.
令则不能被中的任何一个整除故也是一个质数与假设矛盾，所以质数有无穷多个。

第 3 章 应用反证法应注意的问题
3.1 反设要正确
用反证法证明一道题目，首先要能正确否定结论，这是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是钝角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个钝角”或“三个内角都是钝角”，即“至少有两个是钝角”。
3.2 明确推理特点
使用反证法证题，要明确我们的任务是否定结论导出矛盾，但是何时出现矛盾，出现什么样的矛盾却是不能预知的，一般我们总是在命题的相关领域里考虑（例如,立体几何问题往往联系到相关的判定定理等），这就是反证法推理的特点。因此，我们在运用反证法时只需正确否定结论，进行步步有据的推理，一旦出现了矛盾，证明也就结束了。
3.3 善于灵活运用
虽然数学证明题一般都可采用反证法，但并不是说，所有证明题都应该使用反证法来证明，就多数题目来说，用直接证法就可以证出来，不能一味往反证法上面靠，要灵活运用反证法，毕竟我们平时训练的题目多是运用的直接证法。对待用反证法证题的策略思想是：首先试用直接证法，若一时不能成功，即可使用反证法。

第 4 章 反证法的教学价值及建议
关于反证法的教学，从早期就要向学生渗透这种思想，凡事不一定非常严谨，只要学生能够明白、认可其中的说理就可以。
例如，在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到66,88,99.问原来三个数字能否是1,3,5？对于这个问题的判断就可以使用反证法的思想，那就是如果原来写的是1,3,5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数，所以不可能是像66,88,99这样两个偶数一个奇数的状态。
另外，由于数学归纳法也可以用反证法证明，所以凡是能用数学归纳法证明的命题，就一定能用反证法证明。一般思路就是：若命题并非对任意的都真，则存在不真。假设所有的这样的组成集合,用证明数学归纳法相同的方法，从最小数原理推出矛盾来说明之。
4.1 反证法的教学价值
4.1.1 训练逆向思维
为了解决一个面临的数学问题,通常总是先从正面入手进行思考,即根据问题中的已知条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出末知。若从正面入手繁琐或难度较大,不妨考虑问题的相反方面,往往会绝处逢生,开拓解题思路。这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反记法解题,反记法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度,促进创新思维。
4.1.2 促进数学思维的形成
数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精髓,它为揭示数学本质，提供了有力的思想武器。数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才。新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化、数学思维,如何去做是我们关注的。中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思。我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术。而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多。因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧。加强思想方法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措。是社会发展的需要,更是提高数学质量的基本保证。而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径。欧几里德很喜欢运用的归谬法，它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明。象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方！”这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法。
4.1.3 培养思维严密性
训练逻辑思维能力反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题。在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏。比如否定原题结论反设后有几种情况,必须进行分类讨论,一一加以否定。反证法与直接证法是密切联系的，二者相结合往往相辅相成,相得益彰。就全局而言是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法。有时在基本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏。
4.1.4 渗透数学史
提高辩证思维的能力反证法是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一些基本性质,重要定理甚至某些著名的数学难题,往往用反证法证得。举世闻名的费尔马大定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧几里德曾用它证明素数有无穷多个。因此反证法对训练学生辨证思维,提高哲学修养很有价值。
4.2 反证法的教学建议
由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,比较复杂,所以书上没有给出其概
念,从小学、初中、到高中都用到,代数、几何都使用。为此教学工作如下设想。
4.2.1 多次反复, 螺旋上升
反证法的知识本身很难,学生多次学习都感到似懂非懂,下次见到又是生面孔,因此,不能期待一次完成,一蹴而就,要通过看书,示范例题,探索解题,回顾推敲,揭示内涵,思悟提高,等慢慢地掌握。
4.2.2 精心研究, 训练反设
在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是十分重要的。
4.2.3 渗透数学思想方法, 训练严密
先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师生共同概括提炼,加以量化。然后
由学生反过程,探索分析问题思想,以达到提高、升华。最后,力求使学生学会运用反证法思想武器指导思维活动,在高层次感受其威力。
4.2.4 共同探究, 总结归谬类型
归谬是用反证法证明的核心部分。为了进行新的否定,必须在推理过程中有意
识地制造矛盾并及时地发现矛盾。通常可以从以下几个方面去寻找矛盾。
(1)导出新结论与公理矛盾。
例 1 设是同一平面内的三条直线,且求证:
证明:假设不平行,则直线必交与一点,由已知条件说明过直线作一点,可作两条相交直线与已知直线平行,与平行公理矛盾,所以.
(2)导出的新结论与已知定义矛盾。
例 2 设是同一平面内的三条直线,且,与斜交,求证:相交。
证明:假设不相交,则必有
与斜交,,从而,即与的交角不是直角,这与垂线定义相矛盾,所以必相交。
(3)导出的新结论与已知的定理矛盾。
(见例1)
例 3 两个自然数的任意一个公倍数
都是其最小公倍数的倍数。如，而是的任意一个公倍数,那么。
证明: 假设那么用除 得同样这与矛盾,
(4)寻出的新结论与反设相矛盾。
例 4 求证不是有理数。
证:假设是有理数。注意到处= 1< 2 < 4 =2,则可设,其中为互素的互整数, ①平方得即②所以是偶数,此时也是偶数,由此代入② ,所以是偶数,此时也是偶数,也是偶数,于是均为偶数,有公因数2,这与互素的假设矛盾,因此2 不是有理数。
(5)得出的结论与推理过程中间某一结论矛盾,即自相矛盾。
例 5 试证明三个连续整数中的最大一个数的立方不可能等于其它的数的立方和。
证:设三个连续整数为假设成立,化简得(1)、故与同为正数,即知,则有与(1)式矛盾,故原命题成立。

第 5 章 总结
反证法是一种特别重要的证明方法，在数学中非常普遍，尤其是高等数学；在初等数学中用处也很广泛，但是不能很好的被学生掌握，究其原因，于中国传统数学有很大的关系。反证法的出现，主要是解决困扰西方很多年的无限问题。西方很重视数学证明中逻辑的严密性，第一第二次数学危机都与无限有关，无理数与无穷小。通过反证法化无限为有限来解决问题，方便很多。中国与西方不同，很少受到无限思维的困扰，中国人多用反驳而少用反证法。
反证法的这种逆向思维的方式，在我们的数学道路上扮演着很重要的角色，是我们认识数学的另一道门，学习研究反证法使我受益匪浅。

致 谢
衷心感谢王志玺老师在本篇论文写作过程中的指导和帮助。

参考文献
[1] 肖承法.反证法在中学数学中的应用.新课堂，2010.
[2] 孙宗明.数学证明方法[M].兰州大学出版社,1995.56.
[3] 周春荔.数学观与方法论[M].首都师范大学出版社,1996:151、153.
[4] 蔡亲鹏，陈建花.数学教育学. 浙江大学出版社，2008(10).
[5] 段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革.武警学院学报,河北廊坊，2003(8).
[6] 李宗俊.反证法的逻辑根据.宜宾市专学报,1992.