复数的向量表示.doc

学科：数学
教学内容：复数的向量表示

　　【基础知识导引】
　　1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义．
　　2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的基本性质．
　　3．掌握复数的向量表示，理解复数z、复平面内的点Z及向量之间的一一对应关系．
　　4．理解复数的模的概念及其几何意义，掌握复数的模的计算方法．

　　【教材内容全解】
　　1．复数的几何表示是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫实轴，y轴叫虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．任何一个复数z=a+bi，都是由一个有序数对(a，b)惟一确定，所以复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的．
　　2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，实数的共轭复数就是本身．
　　由共轭复数的定义，有下列结论：(1)z为实数；
　　(2)z为纯虚数，且z≠0；
　　(3)；
　　(4)互为共轭复数的两个复数，在复平面内对应的点关于实轴对称．
　　3．设z=a+bi在复平面内对应的点为Z，用向量可以表示复数z。显然是由点Z惟一确定，因此，复数集C与复平面内由原点出发的向量也是一一对应的，即复数z=a+bi，点Z(a，b)，向量三者之间有如下对应关系：

　　4．关于复数的模，应从以下几个方面来加深对这一概念的理解．
　　（1）计算公式：。
　　（2）几何意义：复数z=a+bi的模是点Z(a，b)到原点的距离，即向量的模（长度）。
　　（3）。
　　（4）复数的模是实数的绝对值概念的推广。
　　（5）两个不全为实数的复数不能比较大小，但任何两个复数的模是可以比较大小的。

　　【难题巧解点拨】
　　例1 已知复数是4-20i的共轭复数，求x的值。
　　解 因为4-20i的共轭复数是4+20i，根据复数相等的定义，可得
　　解之，得x=-3。

　　例2 实数x分别取什么值时，复数对应的点Z在（1）第三象限？ （2）第四象限？ （3）直线x-y-3=0上？
　　分析 因为x是实数，所以，也是实数。若复数z=a+bi，则当a<0，且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0，且b<0时，复数z对应的点的第四象限；当a-b-3=0时，复数z对应的点在直线x-y-3=0上。
　　解 （1）实数x应满足
　　解之，得-3<x<2时，点Z在第三象限。
　　（2）实数x应满足
　　解之，得2<x<5时，点Z在第四象限。
　　（3）实数x应满足
　　，即x=-2时，点Z在直线x-y-3=0上。

　　例3 已知复数（x，y∈R）的共轭复数是它本身，试在复平面内画出复数z=x+yi对应的点Z构成的图形。
　　解 因为x，y∈R，所以3x+2y、都是实数。
　　由题设及共轭复数的定义，得，所以，即点Z(x，y)的坐标满足方程，因此，点Z构成的图形是以原点为圆心，以1为半径的单位圆（图5-1）。

　　例4 设z=x+yi(x ，y∈R)，且|z|≤2。试画出满足下列条件的点Z的集合的图形：
　　（1）y>1； （2）x+y=2。
　　解 （1）图5-2中阴影部分 （2）图5-3中线段AB

　　例5 复数z=a+bi(a，b∈R)，满足|z-3+i|=5。
　　（1）求实数z； （2）求纯虚数z。
　　分析 对z为实数与纯虚数时分别讨论，由复数模的定义，列方程求解。
　　解 （1）z=a+bi(a，b)，∵z∈R，∴b=0。
　　由|z-3+i|=5，得，
　　解之，得。
　　因此，。
　　（2）z=a+bi(a，b∈R)，∴z为纯虚数，∴a=0，且b≠0。
　　由|z-3+i|=5，得，
　　解之，得b=3，或b=-5。
　　因此，z=3i，或z=-5i。

　　例6 已知，，其中x，y∈R，若，，求z=x+yi的值。
　　分析 根据复数模的计算公式及，，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值。
　　解 根据复数模的计算公式及已知条件，可得方程组
　　解之，得或
　　所以z=-2i，或z=2i。

　　例7 已知复数z≠0，如果，证明z为纯虚数。
　　证明 设z=a+bi （a，b∈R）。∵z≠0，∴a，b不同时为零。
　　，由，则a－bi=－a－bi。
　　∴，又a，b不同时为零，
　　∴ ∴z=a+bi （b≠0）为纯虚数。

　　例8 已知z-|z|=-1+i，求复数z。
　　解法1 设z=x+yi(x，y∈R)，依题意，可得：
　　，即。
　　由复数相等定义，得
　　解之，得
　　因此z=i。
　　解法2 由已知可得z=|z|-1+i，等式两边取模，得|z|=||z|-1+i|，即。
　　解之，得|z|=1。
　　把|z|=1代入原方程，得z=i。
　　说明 本例的解法1是通过复数相等的条件，把复数问题转化为实数问题来解决的；而解法2是直接用复数的性质来求解的，这两种解法都是解决复数问题的基本方法。

　　【课本习题解答】
　　练习（第200页）
　　1．x=1，y=7
　　2．A：4+3i B：3-3i C：-3+1.5i D：-2.5-3i
　　E：5.5 F：-2 G：5i H：-5i
　　3．各点的几何表示略。
　　4．各点的共轭复数分别为：4+3i，-1-i，-5-12i，，-4i，。（各复数及它们的共轭复数的点的表示略）
　　5．（1）第一象限；（2）第二象限；
　　（3）虚轴的下半轴；（4）第一、二象限。
　　练习（第202页）
　　1．（1）各点的向量表示略。
　　（2），
　　，
　　|-2i|=2，|4|=4，

　　2．因为，，
　　，，
　　所以，，，都在以原点为圆心，为半径的圆上。
　　习题5．2
　　1．（1）成立；
　　（2）不成立（如|2+3i|=|3-2i|）；
　　（3）不成立（原点也在虚轴上）。
　　2．（1）各点的几何表示略；
　　（2）1，-i，6+8i，1-i，，-4+6i，，
　　（各点的几何表示略）
　　3．各复数及它们的共轭复数和向量表示略，模分别是：
　　|1|=1，|i|=|-i|=1，
　　|6-8i|=|6-8i|=10，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　4．∵，
　　，
　　∴。
　　5．（1）如果复数对应的点在第一象限，则m<-2或m>7，
　　如果复数对应的点在第三象限，则3<m<5，
　　因此，复数在第一、三象限时，有
　　m<-2，或m>7，或3<m<5
　　（2）由解之，得-2<m<3，或5<m<7。
　　6．（1）以原点为圆心，以3为半径的圆；
　　（2）以原点为圆心，以3为半径的圆的外部（不包括圆）；
　　（3）以原点为圆心，以3为半径的圆的内部（不包括圆）；
　　（4）以原点为圆心，以2与5为半径的圆所夹的圆环（包括小圆但不包括大圆）。
　　7．设z=a+bi(a，b∈R)，则
　　∴解之，得因此z=3+4i

　　【同步达纲练习】
　　一、选择题
　　1．若(x-2)+yi和3x+i是共轭复数，则实数x，y的值是（ ）
　　A．x=3，且y=3 B．x=5，且y=1
　　C．x=-1，且y=-1 D．x=-1，且y=1
　　2．满足等式的复数z在复平面内的对应点的集合是（ ）
　　A．一个圆 B．两个圆
　　C．一直线和一个圆 D．两条直线
　　3．和是复数，以下结论应该是（ ）
　　（1），则且
　　（2），则且
　　（3），则
　　（4），则和互为共轭复数
　　A．仅（2）正确 B．仅（2）、（3）正确
　　C．仅（2）（3）（4）正确 D．仅（2）、（4）正确
　　4．下列式子或结论中正确的是（ ）
　　A．|1-3i|>|3cosθ+i·3sinθ|
　　B．
　　C．|5+2i|>|-1-6i|
　　D．|cosθ+isinθ|的最大值是，最小值是零
　　5．如果z=x+yi(x，y∈R)，则有（ ）
　　A． B．
　　C． D．
　　6．设、，的一个必要不充分条件是（ ）
　　A． B． C． D．

　　二、填空题
　　7．若x+y-30-xyi和y-x+60i互为共轭复数，则实数x=____________，y=____________。
　　8．若得数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于，则实数x的取值范围是____________。
　　9．设z=2+i，z和在复平面内对应点分别是A和B，O点是坐标原点，则△AOB的面积是____________。
　　10．已知虚数(x-2)+yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是____________。

　　三、解答题
　　11．已知z=cosα+i(1-sinα)，求|z|的取值范围。
　　12．已知z-2|z|=-7+4i，求复数z。
　　13．已知复数，，且两复数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围。
　　14．已知，，对于任意实数x，均有成立，试求实数a的取值范围。

参考答案
　　【同步达纲练习】
　　一、1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．D
　　二、7．x=15，y=4 8． 9．2（面积单位） 10．
　　三、11．，
　　∵-1≤sinα≤1，0≤2-2sinα≤4，∴|z|的范围为[0，2]
　　12．设z=x+yi(x，y∈R)，由已知，得
　　， ，
　　解之，得或
　　因此，z=3+4i，或
　　13．，
　　。
　　由已知
　　 ，
　　∴sinθ-cosθ≤1，，
　　因此 （k∈Z）
　　14．，
　　∵，∴，
　　∴，即恒成立。
　　此命题等价于
　　（Ⅰ）或（Ⅱ）
　　解之，得，或
　　因此a的取值范围是