第2章 点、线、平面的投影.doc

第2章 点、线、平面的投影

2.1 投影法的基本知识

图2-1中心投影法
(a) 中心投影；(b) 斜投影；(c) 正投影
物体在阳光或灯光等光线的照射下，就会在墙面或地面上投下影子，投影法就是将这一现象进行科学地抽象，其中，光源称为投射中心，光线称为投射线，墙面或地面称为投影面，影子称为物体的投影。这种研究空间物体与其投影之间关系的方法，称为投影法。投影法分为中心投影法和平行投影法两种。

2.1.1 中心投影法
如图2-1所示，设S为投射中心，通过三角形上各点的投射线与投影面的交点称为点在平面上的投影，这种投射线都通过投射中心的投影法称为中心投影法。日常生活中，照相、电影和人眼看东西得到的影像，都属于中心投影。由于用中心投影法绘制的图形符合人们的视觉习惯，立体感强，因而常用来绘制建筑物的透视图。但是，由于中心投影法作图复杂，且度量性差，故机械图样中很少采用。
2.1.2 平行投影法
将投射中心S移到无穷远，使所有的投射线都相互平行，这种投影法称为平行投影法。按投射线与投影面是否垂直，平行投影法又可分为正投影法和斜投影法。

图2－2 平行投影法
(a) 斜投影；(b) 正投影
1) 斜投影法
投射线倾斜于投影面的投影法，如图2-2(a)所示。

2) 正投影法
投射线垂直于投影面的投影法，如图2-2(b)所示。
图2-3 正投影的特性
(a) 真实性；(b) 积聚性；(c) 类似性
由于正投影能准确地反映物体的形状和大小，便于测量，且作图简便，所以机械图样通常采用正投影法绘制。今后若不特别说明，投影均指正投影。

2.1.3 正投影的基本特性
1. 真实性
当直线（或平面）平行于投影面时，其投影反映实长（或实形），这种投影特性称为真实性，如图2-3(a)所示。
2. 积聚性

图3-4 点的面投影
当直线（或平面）垂直于投影面时，其投影积聚成点（或直线），这种投影特性称为积聚性，如图2-3(b)所示。

3. 类似性
当直线或平面既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，但长度缩短，平面的投影是原图形的类似形（与原图形边数相同，平行线段的投影仍然平行），但投影面积变小，这种投影特性称为类似性，如图2-3(c)所示。
2.2 点的投影

2.2.1 点的三面投影规律

图2-4 点的三面投影
点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有唯一的投影；但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空间位置。在三投影面体系中，过点A分别向三投影面作垂线（投射线），垂足a、a′、a″即为点A的三面投影。

空间点及其投影的标记规定为：
空间点用大写拉丁字母表示，如A、B、C …；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c …；正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″，b″，c″…，如图3-4所示。

图2-4 点的三面投影

由图3-4可以得出点在三投影面体系中的投影规律：
(1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
(2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
(3) 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aX＝a″Z，可以用45°线反映该关系。

2.2.2 点的直角坐标
如果把三投影面体系看作直角坐标系，把投影面H、V、W作为坐标面，投影轴X、Y、Z作为坐标轴，则点A的直角坐标（x，y，z）便是A点分别到W、V、H面的距离。点的每一个投影由其中的两个坐标所确定：V面投影a′由xA和zA确定；H面投影a由xA和yA确定；W面投影a″由yA和zA确定。点的任意两投影包含了点的三个坐标，因此根据点的三个坐标值以及点的投影规律就能作出该点的三面投影图，也可以由点的两面投影补画出点的第三面投影。

例1 已知点A的V面投影a′和H面投影a，求W面投影a″（图2-5）。
作图：
(1) 过原点O作45°线。
(2) 过a作平行于X轴的直线与45°线相交，再过交点作平行于Z轴的直线。
(3) 过a′作平行于X轴的直线与平行于Z轴的直线相交于a″，即为所求。

图2-5由点的两面投影求第三投影
2.3 直线的投影

图2-6 直线的投影
直线的投影一般仍为直线，两点可以唯一确定一条直线，所以在绘制直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，然后连接这两点的同面投影，即是直线的三面投影图，如图2-6所示。

根据直线与三个投影面的相对位置不同，可以把直线分为三种：
（1）、一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线。
（2）、投影面平行线：平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线。
（3）、投影面垂直线：垂直于一个投影面，同时必平行于另外两投影面的直线。投影面平行线和投影面垂直线统称为特殊位置直线。
2.3.1 一般位置直线
如图2-6所示的直线即为一般位置直线。
一般位置直线的投影特性：
(1) 三面投影都倾斜于投影轴。
(2) 投影长度均比实长短，具有类似性。
2.3. 2 投影面平行线
投影面平行线可分为三种：平行于V面的正平线；平行于H面的水平线；平行于W面的侧平线。投影面平行线的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影，反映该线段的实长，具有真实性。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且比线段的实长短，具有类似性。
2.3. 3
投影面垂直线

图2-7一般位置平面投影
投影面垂直线也可分为三种：垂直于V面的正垂线；垂直于H面的铅垂线；垂直于W面的侧垂线。
投影面垂直线的投影特性：
(1) 在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点，具有积聚性。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长，具有真实性。

2.4 平面的投影
平面与投影面的相对位置有三种：
(1)一般位置平面:与三个投影面都倾斜的平面。
(2)投影面垂直面:垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面。
(3)投影面平行面：平行于一个投影面，必然垂直于另外两个投影面的平面。
2.4.1 一般位置平面
一般位置平面的投影如图2-7所示。由于三角形ABC对V、H、W面都倾斜，因此它的三个投影都是三角形，为原平面图形的类似形，而且面积比实形小。
2.4.2投影面垂直面
投影面垂直面可分为三种：垂直于V面的正垂面；垂直于H面的铅垂面；垂直于W面的侧垂面。
投影面垂直面的投影特性：
(1) 在与其所垂直的投影面上的投影，积聚成倾斜于投影轴的直线，具有积聚性。
(2) 其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形，具有类似性。

2.4.3 投影面平行面
投影面平行面也可分为三种：平行于V面的正平面；平行于H面的水平面；平行于W面的侧平面。
投影面平行面的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影，反映平面图形的实形，具有真实性。
(2) 在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线，具有积聚性。
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