数学问题大师----希尔伯特.doc

数学问题大师━━希尔伯特
陕西省丹凤中学 李德葆 726200

内容提要：本文分三个部分介绍了希尔伯特的生平及希尔伯特问题的提出过程、部分数学研究成果，阐述了希尔伯特对20世纪数学发展的巨大影响，最后简介希尔伯特的教育思想对当前新课改的现实意义。

关键词：希尔伯特 问题 公理化 哥廷根 “23个数学问题”

有位科学家曾这样说过：在科学研究过程中提出一个问题，远比解决一个问题难的多。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，在近代数学发展史上,有这样一个人不仅站在数学研究的最前沿，提出了具有深远影响的数学问题，而且是成批的数学问题，并在数学研究的各个分支都做了深入的研究，赢得了广泛的盛誉,他，就是---希尔伯特，这位二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家，在横跨两个世纪六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。本文用三大部分来介绍希尔伯特问题的提出、对20世纪数学的伟大贡献及其教育思想。
一、希尔伯特与他的“23个问题”
希尔伯特（1862－1943），生于德国名城哥尼斯堡，这是著名哲学家康德一直居住的城市，他出生时正是普鲁士王国首相俾斯麦积极推行德国统一建立德意志帝国时期，统一的德国促进了国内工业、技术、科学和教育的发展，从而也使德国的数学突飞猛进。
希尔伯特不是高斯那样的天才人物，也不如他的朋友闵可夫斯基年纪轻轻就荣获法国科学大奖而名扬国际。19岁时才进入家乡的哥尼斯堡大学学习，22岁大学毕业并获博士学位，从这时起开始了他的研究生涯。
希尔伯特在大学里的最大收获不是听讲、看书或参加学习班，而是同两位青年数学家的交往。一位是比他大三岁的Adelf Hurwitz(胡维兹)他是希尔伯特真正的老师，希尔伯特还是学生时，他已经是副教授了，这位教授学见多识广，对当时数学的所有领域都有非常深入的了解。另一位是比他小两岁的闵可夫斯基，他早希尔伯特半年上大学，并且在上大学时因为解决了巴黎科学院提出的数学难题而获大奖，从此名扬国际，那时他不到20 岁。
共同的爱好使他们三人每天下午“准时五点”在苹果树下碰头，然后一起散步，讨论数学问题，在日日不息的散步当中，他们考察了数学世界的每一个王国，讨论了数学发展的最新状况，互相交流彼此的看法,研究心得和获得的新知，就这样三个人结成了终生的友谊，胡维兹以其全面、系统的知识影响了另外两个人，而希尔伯特利用这种有趣而又容易接受的学习方式象海绵吸水那样吸收着数学知识，给自己未来的事业打下了牢固而全面的基础，几个人一起领会或边散步边讨论数学问题，这种交流方式的首创者恐怕要算他们三位了吧！
1889年（27岁）时， 希尔伯特解决了Gordan问题而声名大震， 1893年到1896年，为德国数学会起草了著名的《数论报告》，这个报告在20世纪里一直指导着代数数论的研究工作，成为代数数论的“圣经”。
1895年，希尔伯特前往世界数学中心——哥廷根大学任教授，1899年，出版《几何基础》、开创公理化方法的先河，此书之后被再版达17次之多。
面对如此娇人的成就，1899年第二届国际数学家大会的筹备机构才邀请希尔伯特在大会上作主要发言。
希尔伯特愉快地接受了大会的邀请，并准备在这个世纪之交作一个相称的发言，当时有两个想法：或者作一个为纯粹数学做辩护演讲，或者讨论一下新世纪数学的发展方向。他很犹豫，拿不定主意，对于前者，作那样一个演讲也是完全可以的，其实也是大会组织者的意图所在，对于后者，要讨论发展方向，需要提出一些问题，特别是要展示一个世纪学科的发展状况，成功了当然没话可说，名垂千古，而失败了又会怎么办？这不仅是个人历史地位问题，而关系着他所热恋的“纯粹数学”的存亡，他不得不慎重考虑这个问题，为此他写信给好友闵可夫斯基进行商量，老朋友替他作了认真分析，回信建议:采用第二种想法.希尔伯特坚定了信心，开始了紧张的选题工作。
大会在八月份开幕，而在六月份还没有定稿，大会筹备组发给与会者的程序册里也没有希尔伯特的关于展示数学发展的演讲，后来闵可夫斯基和胡维兹也帮助希尔伯特仔细选题，经过几个月的努力工作，希尔伯特终于露出了笑脸。
1900年8月6日，第二届国际数学家大会在巴黎召开，年方38岁的数学家希尔伯特走上讲台，第一句话就说到：“揭开隐藏在未来世界之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢？”接着他向与会者——也向国际数学届提出了影响深远的“23个问题”。这就是希尔伯特的演讲，这一演讲成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。
据统计，1936－1974年被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20位获奖人之中，至少有12人的工作与希尔伯特的问题有关。1976年美国数学会评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的⑴、⑸、⑽的解决。1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余的大多数也都有重大进展。
科学发展的每一时代都有自己的问题，一个科学家如此自觉地、集中地提出一整批问题并且持久影响一门学科的发展在科学发展史上还是罕见的。
值得高兴的是中国数学家在希尔伯特的第8和第16个问题上作出了重要贡献。
第8个问题是“素数问题”，陈景润的成果至今在世界上领先，他部分解决了这个问题。
第16个问题是“代表曲线和代数曲面的拓扑问题”。中国数学家董金柱、叶彦谦、秦元勋、蒲富金、史松龄、王明淑等的研究成果居世界领先。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
二 、希尔伯特的数学贡献
希尔伯特从大学毕业起，就开始了他的研究生涯，研究工作遍及数学的各个分支，但他从来不搞细枝叉节。每个领域中，他都把自己的目标集中在重大和关键问题上，这类问题具有下列共同特点：
1、清晰性和易懂性。“因为清楚，易于理解的问题能够吸引人的兴趣，而复杂的问题能使人望而却步”。(希尔伯特语,下同)
2、困难（“这才能诱使我们去钻研它”），但又不是完全无从下手（“免得使我们徒劳无功”）。
3、意义重大（“在通向那隐藏着的真理的曲折道路上，它是一盏指路明灯”）。
希尔伯特正是遵照上述原则去寻找和解决一个又一个的问题并取得一个又一个重大成就的。他每搞一个问题总是锲而不舍，不达目的决不罢休。在解决问题的道路上，他总是不为陈规陋习所束缚，而去寻找各种途径，充分发挥他的巨大的创造才能。
他的研究工作大致可以分为五个领域六个时期：
（1）不变式理论（1885～1893）；
（2）代数数域理论（1893～1898）；
（3）几何学基础（1898～1902）；
（4）积分方程（1902～1912）；
（5）数学物理方法（1910～1922）；
（6）一般数学基础（1922～1930）；
1、不变式理论
不变式的观念在18世纪已有萌芽，但正式提出此概念的是英国数学家、逻辑学家布尔GeorgeBoole，现在计算机科学中常谈到的Boole代数就是来源于他的理论。1941年，Boole正式提出不变式的概念。
1858年数学家Canlty（凯雷）对于两个变元的情形给出了问题的解答。可是到1868年德国数学家卡当Gordan指出凯雷的结果是不对的，但计算方法十分复杂，不过能写出具体的公式，其结果令人叹服，这样卡当便荣获了“不变式之王”的雅号，而年轻的希尔伯特先从二元入手，吃透了Gordan的方法，并对二元情形给出了一个简易证法，而后对三元、四元、n元他发现可用统一方法处理，这就是著名的希尔伯特定理。1889年他从这一定理出发，仅仅用了几页纸就推出了Gordan问题的一般答案：n元型的不变式都具有有限基。这个初出茅庐的数学家不仅得出不变式论的基本定理，更重要的是他使用的方法论具有革命的意义，希尔伯特用存在型证法取代了构建型的方法，这种方法证明时只由定理出发，进行逻辑推算，根本不涉及不变式以及它们的个数，无怪乎“不变式之王”看到希尔伯特的证明后也大喊：“这是神学，不是数学！”为确立存在性的合法性，希尔伯特又用了几年时间用构造法证明了其定理，后来Gordan信服的说：“神学也有神学的用处嘛！”从那以后存在性证明成为数学证明的主要形式，并在布尔巴基学派那里得到发扬光大！
2、代数数域理论
在这方面希尔伯特的工作是承前启后的，前文中提出的希尔伯特为德国数学会写的《数论报告》就是关于这个方面的问题，而希尔伯特的类域论的蓝图到20世纪30年代已经基本完成，而他所提出的许多新概念、新定理预示着抽象代数、拓扑学概念的引进。
3、几何学基础
1898～1899年的冬天，希尔伯特在哥廷根大学讲授“几何学基础”，他指出了欧几里德几何学的经典著作《几何原本》的不足，在分析了点、线、面、体 之后，给出了一个几何学的公理系统。这样以来，过去那种依赖于对象和直观的狭窄圈子被打破了，因为对于他的公理系统，你无论怎样解释，只要满足这样公理，那么公理推得的定理就一定成立。
Hilbert把公理化思想明确严格确定下来之后，他对公理又提出了一些逻辑上的要求：
（1）完备性：所有的定理都可由这些公理推导出来。
（2）独立性：除掉任何一个定理，就会有某些定理得不到证明。
（3）无矛盾性：从这些公理出发不能推出互相矛盾的结果来。
1899年，希尔伯特的《几何学基础》出版产生了巨大影响，这本书之后被再版十七版之多！
希尔伯特在数学分析、数学物理方法方面也颇有建树，鉴于篇幅，不再赘述。
从前面的介绍中，我们能够看到，希尔伯特能够在众多的数学领域里纵横驰聘，取得了令人仰慕的数学成就，他的成功靠的是什么？靠的是对数学的极大兴趣、执着的追求、藐视一切陈规陋习的批判精神和独特的学习、工作方法。在与众多数学家交往中，开拓了视野，希尔伯特在苹果树下的聚会、散步中得到了他的“心上人”——数学知识，这种方法很值得我们借鉴，他们在激烈的争论过程中修正了错误，接近了真理，这种争论还会激发同伴间智慧的火花，使那种稍纵即逝的闪光点延长了寿命，后来的布尔巴基学派借鉴了希尔伯特他们的方法，这群经常不能被人们理解的“疯子”在激烈的争吵之中经常把一个人的理论批得体无完肤，而在这争吵之中他们的理论得到锤炼、得到升华、得以完善！
三、希尔伯特教育观
希尔伯特还是一位杰出的数学教育家,他提出，要以问题解决为基础来改革数学教学和课程，为学生提供能够反映所要学的知识又能够与学生现有知识经验相关联的问题。通过解决这类问题，学生可以发现其中的关系，理解其中的新侧面。美国数学家乔治·波利亚也曾经说：“问题是数学的心脏。”真是英雄所见略同！有证据表明，问题解决教学比传统的单纯技能训练式的教学更能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且对数学形成更为积极的兴趣、态度和信念。
以问题为中心组织课堂教学为教师落实课程改革的新理念提供了操作性较强的方法，也为学生新、旧经验的同化和顺应提供了理想的平台。教学中，教师要以民主的作风、和蔼的口气，鼓励学生质疑、争论，提倡独立思考、自主探索，务使学生体会到，提出问题是创新的开始，也是学好数学的有效途径。通过问题解决来学习，基于问题解决来建构知识，是各种探究性学习活动的重要特征，系统的数学知识体系是问题及其解决的保障，问题解决能力的培养又为学生学习数学知识提供了内在动力。
课程改革的实践使我们认识到，问题中心就是以学生的发展为中心，问题中心就是不断地发现问题、提出问题、解决问题，问题中心有助于培养学生的创新意识和创新精神，问题中心能够促进创新型国家目标的实现。当然，培养学生的问题意识、提出问题的能力是数学课程改革中的实践性很强的作业，也是一项长期、精细又很神圣的任务，对此数学教材已经作出了积极的、非常有意义的探索，接下来该是我们一线教师大显身手的时候了。让我们沿着希尔伯特的足迹，发扬大无畏的批判精神和藐视一切权威、陈规陋习的勇气在建设创新型国家的征程中不断前进。

参考文献：1.梁宗巨.世界数学通史.辽宁教育出版社，2001．4
2.李迪主编.中外数学史教程.福建教育出版社，1993
3.徐利治.漫谈数学的学习和研究方法.大连理工大学出版社，1989
4. 钱宝琮等．中国数学史．北京：科学出版社，1964
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