复数的综合复习.doc

复 数 的 综 合 复 习

例1 填空题：
（1）若复数所对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是
。
（2）设，当 时，；当
时，；当 时，为纯虚数；当 时，。
（3）满足的实数 ，纯虚数 。
（4）在复数集上，方程的解集是 。
解（1）复数所对应的点在第三象限
，∴ 。
（2）；
；
为纯虚数；
。
（3）当时，；
当为纯虚数时，设，则
，∴ 。
（4）原方程
或
或，
∴ 原方程的解集为。
例2 单项选择题：
（1）设复数满足关系式，那么的值为 （ ）
（）； （）； （）； （）。
（2）与命题“复数、、不都为零”等价的命题是 （ ）
（）； （）；
（）； （）。
（3）把复数对应的向量绕原点顺时针旋转，得到的向量所对应的复数是 （ ）
（）； （）； （）； （）。
（4）虚数、互为共轭复数的充要条件是 （ ）
（）； （）；
（）； （）以上都不对。
解（1）；（2）；（3）；（4）。
例3 已知，求复数模的取值范围。
解：，
当时，；当时，，∴ 。
例4 关于的方程有实数解，求复数的模的最小值。
解：由方程的常数项非零知方程没有零根，设方程的非零实根为，则
，
，
等号成立，
∴ 。
例5 已知，求在复平面中的对应点的轨迹。
解：设，则，消去参数得
，由，故在复平面中的对应点的轨迹是抛物线的一部分，即
，。
例6 已知 满足，求复数 在复平面内对应点所围
成区域的面积．
　解：
，∴ 。
例7 已知平行四边形的四个顶点按逆时针排列，其三个顶点、、所对应的复数分别是、、，求
（1）向量、对应的复数；（2）点对应的复数。
解（1）记，，，它们在复平面上对应的向量分别为，
，。由
向量对应的复数是，
向量对应的复数是；
（2）注意到，则由向量，即点对应的复数是
。
例8 正三角形的一个顶点在原点，中心为，求正三角形另外两个顶点的坐标。
解：由条件可得，正三角形另外两个顶点、关于直线：对称，设交于，记、、在复平面上对应的复数分别为、、，由分
为：，则
，
由、关于点对称可设，，则
……………… ①
又，，则
……………… ②
解①、②联立的方程组得：或，因而正三角形另外两个顶点为：
。
例9 已知方程。
（1）若方程有实根，求的值与相应方程的根；
（2）若方程有纯虚数根，求的值与相应方程的根。
解（1）设方程的实根为，则
原方程，
当时，原方程，设方程的另一根为，由韦达定理得：
；∴ ，原方程的解集为。
（2）设方程的纯虚数根为，则
原方程
，当时，
原方程，设方程的另一根为，由韦达定理得：
；∴ ，原方程的解集为。
例10 方程两根为、且，求实数的值。
解：
1当，即时，，

，则
，矛盾；或
；
2当，即时，，，则
；
综合可得：。
例11 求同时满足下列两个条件的所有复数：
（1）且；（2）。
解：，
若，则，由与同号得：，不符合条件（1），必有，则或，
又，且。或；
由或，
∴ 。
例12 已知复数、满足，且，求、的值。
解：， 设，由

，
1
，
2
；
综合可得：。
6