复数中的方程问题.doc

高三第一轮复习 复数中的方程问题
复数中的方程问题（教师版）
【知识梳理】
1.一元二次方程
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2) 方程有两个不相等的实数根;
(3) 方程有两个共轭虚根.
注:①实系数一元二次方程的跟只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;
②解实系数一元二次方程,首先要判断的符号,以确定跟的情况.
2.实系数一元二次方程跟与系数的关系: 方程的两根为,则()
注:①时()式成立,为虚数时()式也成立;
②若为虚数,则,且
【基础练习】
1.在复数集内,方程的解集为____________.
2.若是方程的一个根,则等于___26___.
2.方程的一个虚根的模为,则=____9______.
3.方程的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数的值为__________.
4.若实系数一元二次方程的根为,则这个方程为( B )
A. B. C. D.
5.方程在复数集内的根的个数为( C )
A.2 B.3 C. 4 D.5
6.在复数集内分解因式:____ ____.

【例题解析】
例1. 在复数集中解方程：．
分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．
解 (1)，所以该方程有一对共轭虚根，
所以方程的根为：．
(2)，
当时，即或时，；
当时，即，若；若；
当时，即时，．

例2. 已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求．
分析 实系数一元二次方程的两个虚根共轭，又．
解 是实系数一元二次方程的两个虚根，．
又因为
所以是的立方根，又．

例3. 已知方程（）的两根为，若，求实数的值.
解：（1）当，即时，
则，由
（2）当，即时，
则，由
综上。

例4.已知且关于的方程的两个根分别为，求．
分析 在求的表达式时，方程的根是实数还是虚数，在变形时方法完全不同．所以很有必要区分是实根还是虚根，即对分类讨论．
解 ．
当即时， ，

当即时， 为一对共轭虚根，．
，则．
综上可知：

例5. 已知关于的方程有实根，求纯虚数的值．
分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题．
解 设实数根为，又设，代入原方程整理，得：
，由复数相等的定义，
得 解方程组，得，。

【变式】有关于的一元二次方程
（1） 若此方程有一实数根，求锐角的值；
（2） 求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.
解：（1）设原方程的实数根为，则，即
，解得；
（2）假设（）时，原方程有纯虚数根（），代入原方程，得，从而有，该方程组无解，得证。

【巩固练习】
1.,方程一定有实数根的充要条件是(D )
A. B.或 C. D.
2.对关于的方程,下列说法正确的是(C )
A.若方程有实根,则为非负实数;
B.若虚数为方程的一个根,则为方程的另一个根;
C.若方程有两个实数根,则都不是虚数;
D.若为虚数,则方程两根均为虚数;
3.方程的实数解为___2____.
4.已知为方程的解,则_____-1_______.
5．解关于的方程。
解：当或时；当时
6.设关于的方程的两根的模的和为2,求实数的值.
解：当时，即或时，方程有二实根，
，；
即或（舍去）；
当时，即时，方程有两共轭虚根，
，或（舍去）；
综上所述，或。

7.已知复数为虚数单位且,求的取值范围.
解：，
，
。

8.已知,设方程有虚数根;不等式对一切恒成立.如果两个命题中有且只有一个是正确的,求的范围.
9. 设，在复数集中解方程。
解一：设，（）

或，
解得或。
所以方程解为或
解二：，为实数或纯虚数。
（1） 若，则原方程化为
，
（2） 若为纯虚数，设，
原方程化为。
当时，，

10.设，，解方程。
解：原方程变形为，①，
所以为纯虚数，且的虚部为负数，故直接用表示，①两边去模，得：
，即，解得（负值舍）

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