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倍立方问题的历史解法
希腊人在用尺规作出正方形两倍于另一正方形之后，试图解决如何用尺规作一立方体两倍于另一立方体的问题。关于此问题的起源还有这样一则传说。有一回，太阳神阿波罗用神谕对德利安岛上的人说，如果他们要免于一场可怕的瘟疫，就必须建造一座新的立方祭坛，新祭坛的体积必须是原有立方祭坛的两倍。德利安人绞尽脑汁，仍一筹莫展；死亡的阴影笼罩全岛，德利安人惶惶不可终日。最后，他们只好去求助于柏拉图。柏拉图告诉他们说，神谕的意思其实并非要一座两倍大的祭坛，而是由于希腊人忽视数学，鄙视几何，故想借这一难题来羞辱他们。实际上，倍立方问题的产生比传说要早。柏拉图以前的巧辩学派已致力于对它的研究，他们苦苦探求，却和德利安人一样一无所成。
第一个给黑暗的困境带来希望的曙光的是数学家希波克拉底（Hippocrate,公元前5世纪）。他原是商人，因商途遭劫，身无分文，故来到当时的商业中心、美丽繁华的亚典谋生。在亚典期间（约公元前450～430），他于哲人为伍，渐通几何。当时　，三大难题是数学家们研究的焦点，希波克拉底自然被它们吸引住了。他发现，若在a，b两线段之间能找到两个比例中项x，y使得a:x＝x:y＝y:b，那么就有。当b＝2a时即可得 。于是希波克拉底将倍立方问题转化为在两已知线段之间求两个比例中项一成连比例问题。
第一个在理论上取得巨大成功的是柏拉图之友、毕达哥拉斯学派的数学家、哲学家和政治家阿契塔（Archytas，鼎盛时期为公元前400～365）。阿契塔的作图不是在平面上而是在三维空间中完成的，因而是倍立方问题的所有理论解法中最引人注目的。

　　 图 4-2-10                图 4-2-11
如图4-2-10所示，设AC、AB是两条已知线段，。我们要在它们之间求两个比例中项。设AC是圆的直径而AB是圆的一条弦。以AC为直径作垂直于圆ABC所在平面的半圆，将所作半圆绕过A且垂直于平面ABC的直线旋转一周，得内径为零的半圆环曲面。接着以半圆ABC为底作一直立半圆柱，交半圆环曲面于某条曲线。最后，设圆ABC在C点处的切线交AB延长线于D。将绕AC轴旋转，得一圆锥，同时B点在旋转过程中在与平面ABC垂直的平面上画出了半圆BQE，直径BE^AC。于是圆锥面与半圆环曲面和半圆柱面的交线相交于某点P。
设APC¢为旋转半圆的相应位置，AC¢交圆ABC于M。作PM ^平面ABC，易知它必与圆ABC相交。设AP交半圆BQE于Q，AC¢交BE于N。连PC¢、QM、QN。因QN是垂直于平面ABC的两个半圆的交线，因而QN^平面ABC，从而得QN^BE。因此
    ，
故ÐAQM＝。但ÐAPC¢＝，因而MQ^C¢P。因此
   C¢A:AP＝AP:AM＝AM:AQ，
或即
    　   AC:AP＝AP:AM＝AM:AB。
于是，AM、AP就是所求的AB和AC之间的两个比例中项。
若以AC为x轴，平面ABC上过A且垂直于AC的直线为y轴，过A且平行于PM的直线为z轴，AC＝a，AB＝b，则三曲面方程分别是
        （i）（圆锥面），
        （ii）（圆柱面），
        （iii）（圆环面）。
不难由（i）、（ii）和（iii）得交点P的坐标满足：

这就是AC:AP＝AP:AM＝AM:AB。当AC＝2AB时就有，从而解决倍立方问题。图4-2-12是该作图法的几何模型。

图 4-2-12
阿契塔的学生、大数学家欧多克斯（Eudoxus，约公元前40～355）将他老师的作图法作了改进，得到平面上的作图法（图4-2-11）。欧多克斯所用曲线即是阿契塔作图法中的圆锥面和圆环面交线在平面ABC上的投影。用我们的语言来说，它就是

以A为极点，AC为极轴，则其极坐标方程是

设曲线与圆ABC的交点为M，则AM就是AB和AC间的第一个比例中项，或即

    阿契塔和欧多克斯的解法并不容易，希腊人当然不会满足于此。欧多克斯的学生、柏拉图学派的数学家梅内克缪斯（Menaechmus，鼎盛于公元前4世纪中叶）为在两已知线段间得两个比例中项而发现了圆锥曲线。梅氏给出了两种解法。
如图4-2-13，设AO、OB是两条给定线段，，AO⊥OB。假设它们之间的两个比例中项为在BO和AO延长线上截得的OM和ON。作矩形OMPN，因AO:OM＝OM:ON＝ON:OB，故得：
  (i)；
  (ii)；
  (iii)。
因此点P在以下三条圆锥曲线上：
    （i）以O为顶点，OM为对称轴，OB长为正焦弦的抛物线;
    （ii）以OM、ON为渐近线的双曲线（过该曲线上任一点作渐近线的垂线所得矩形与矩形AB等积）；
（iii）以O为顶点，ON为对称轴，OA长为正焦弦的抛物线。
梅氏的第一种方法是作出曲线（i）和（ii）得交点P，而第二种方法是作出曲线（i）和（iii）得交点P，从而各得AO和OB间的两个比例中项OM和ON。

　　图  4-2-13　　　　　　　    图 4-2-14
梅氏的解法给了希腊人一个启示。因OA:OM＝OM:ON＝ON:OB，故ÐAMN＝ÐMNB＝RtÐ。因此，若给定线段AO和OB（OA⊥OB），问题就转化为：在BO、AO延长线上确定M、N两点，使ÐAMN＝ÐMNB＝RtÐ。希腊人为此发明了一种机械方法，如图4-2-14所示。FGH是木匠用的木制坚硬直角尺，KL是固定在可沿GF滑动的JK杆上的杆子，移动时始终保持与FG垂直。现移动FGH，使GH边（内侧）经过B点KL杆（朝GH的一侧）经过A点；顶点G位于AO延长线上，而KL与FG内侧所成角的顶点位于BO延长线上。这时，两内侧直角顶点M和N就是所求的点。后人把上述方法归功于柏拉图或他的学园里的某个几何学家。
亚历山大时期，阿基米德的朋友、数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）又创新的机械方法，如图4-2-15所示。AX和EY是两平行直尺，构成一个框架，其上刻有槽。三个直角三角形AMF、MNG和NQH各有一边AM、MN和NQ与一顶点F、G和H位于两直尺的槽内，它们能彼此通过。三个直角三角形初始位置如图（1）所示。在图（2）中，我们要在AE和DH之间求两个比例中项。
固定，将RtΔNQH平移到N ¢QH的位置，使QH经过D；将RtΔMNG平移

   (1)                  (2)
图  4-2-15
到M¢NG的位置，使MF和M¢G及NG和N¢H的交点B和C与A，D共线。设AD和EH交于K。则有
        EK:KF＝AK:KB＝FK:KG＝BK:KC＝GK:KH，
但EK:KF＝AE:BF，FK:KG＝BF:CG，GK:KH＝CG:DH，故
 AE:BF＝BF:CG＝CG:DH。
于是BF和CG即为所求。
埃拉托色尼的上述方法受到蚌线发明者尼可米德的嘲笑。尼可米德认为，埃氏的方法既不是几何的，也没有什么实用性。而他自己利用蚌线不仅解决了三等分角问题，也解决了倍立方问题，方法大大优于埃氏的。尼可米德引以为豪的方法如下。
如图4-2-16，AB和BC是两条已知线段，我们要在它们之间求两个比例中项。作平行四边形ABCD，等分AB、BC于E、F，连DE并延长，交CB的延长线于H。作FG⊥BC，使CG＝AE，连HG。作CI⊥HG，以G为极点，CI为直尺，AE长为距离作蚌线，交HC的延长线于K。连GK交CI于I。由蚌线性质知IK＝AE＝CG。连KD并延长，交BA延长线于M。则 MA:AB＝MD:DK＝BC:CK。因AB＝2AE，BC＝CH/2，故有MA:AE＝HC:CK＝GI:IK。因此ME:AE＝GI:IK，而由作图知AE＝IK，故得ME＝GK。又因，两边同加上得
     ，

　　　图 4-2-16                  图 4-2-17
而，因此，
 。
但CG＝AE，故有，或CK:MA＝BM:BK。而
       BM:BK＝CD:CK＝MA:AD，
所以
   　CD:CK＝CK:MA＝MA:AD，
此即
   AB:CK＝CK:MA＝MA:BC。
尼可米德的解法的关键是找出图4-2-16中的K和M两点使。这又给希腊人一个启示。能否用别的方法求得K和M两点呢?亚历山大时期另一位大数学家阿波罗尼斯（Apollonius, 约前262～前190）找到了这样一个方法，如图4-2-17所示。仍设AB，BC是两条给定线段，AB⊥BC，作矩形ABCD，设O是对角线角点。以O为心，OA为半径作矩形的外接圆，又以O为圆心作圆交BC，BA的延长线于K、M，使得K、D、M三点共线。则可以证明。
阿波罗尼斯之后研究倍立方问题的希腊人中，最著名的莫过于数学家丢克莱（Diocles，约鼎盛于公元前2世纪末1世纪初）了。丢克莱为在两已知线段间求得两个比例中项而发明了一种因形状而得名的新曲线，今称蔓叶线。如图4-2-12，AB、CD是圆O的两条相互垂直的直径。E、F分别是四分之一圆周BD、BC上满足BE＝BF的任意两点。作EG、FH与CD垂直，连CE交FH于P，则P点的轨迹即为丢克莱蔓叶线。易知:
DH:HF＝HF:CH，CG:GE＝CH:HP，CG＝DH，GE＝HF。
因此
DH:HF＝HF:CH＝CH:HP

图 4-2-18
现在，假设我们要在线段a和b之间求两个比例中项。在OB上取点K，使DO:OK＝a:b，连DK并延长，交蔓叶线于Q，过Q作LM⊥DC。则由蔓叶线性质知
DM:ML＝ML:MC＝MC:MQ，
但DM:MQ＝DO:OK＝a:b，设DM＝ak，MQ＝bk，则，即为所求。
    亚历山大晚期，帕普斯的同代人斯波勒（Sporus）重新研究丢克莱的上述解法，得到不需借助蔓叶线的等价方法。如图4-2-18，设DO、OK是两条给定线段（DO⊥OK），现要在它们之间求两个比例中项。以O为心，OD为半径作圆，连DK并延长，交圆O于I。设想有一直尺过C点，绕C转动直尺使它与DI、OB及圆周的交点Q、T和R满足QT＝TR，作QM、RN垂直于CD。则有。帕普斯给出了一个很好的证明。
连RO并延长交圆于S，连DS，SC。因RO＝OS，RT＝TQ，故S、M、Q，共线。今
，
所以

但DM:MQ＝DO:OK，MC:MQ＝CO:OT＝DO:OT，故知

17世纪，比利时数学家圣文森特给出如下解法：设OA＝a，OB＝b是给定两线段（OA⊥OB），作矩形OACB，并作其外接圆；过C作以OA，OB为渐近线的双曲线，与圆交于D，过D作OA，OB的垂线DE，DF（图4-2-13），则
          OA:DE＝DE:DF＝DF:OB
    在圣文森特后十几年，法国大数学家笛卡尔（R. Descartes, 1596～1650）则以OA为轴，a为正焦弦作抛物线以代替格雷戈里的双曲线来得到交点D，从而同样获得了OA、OB之间的两个比例中项。不难看出，圣文森特和笛卡尔的作法与梅内克缪斯的作法等价。

图 4-2-19         图  4-2-20
16世纪，法国著名数学家韦达（F. Vieta, 1540～1603）给出一种作图法：设AB是一给定线段，ÐABM＝90°，ÐABN＝120°，作ACD分别交BM、BN于C、D，使CD＝AB，则（图4-2-20）。一百多年后，牛顿也给出了同样的作图法。