数值分析分章复习(第四章数值积分).doc

第四章 数值积分
要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式
（2）插值型求积公式的构造及余项表达式
（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明
（4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式
（5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式
（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分
区间[a,b]的等分次数n
（7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论
（8）高斯型求积公式的概念
复习题：
1、 已知求积公式为

(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；
(2) 用此求积公式计算定积分
解：（1）依次取代入积分公式可发现: 左端=右端，
而当取时，左端 可端
可见该是求积公式具有5阶代数精确度
由于求积公式节点数为,而公式代数精确度
所以该求积公式为Gauss公式
（1） 对于， 有

故

2、 对于2结点插值型求积公式。
（1）如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式
（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？
注：本题不用考虑
3、 分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度
解：利用梯形公式，
注：Gauss公式部分不要
4、 对于积分。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过
解：（1），
（2）梯形公式余项
辛普森公式余项
可见梯形公式代数精度为 ，辛普森公式代数精度
（3）根据复合辛普森公式的余项
注意到
令，解得
可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求

5、 确定下列公式

中的参数，，，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。
解：依次取代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组
， 解得
得公式：
取代入公式，有左端=右端
取代入公式，有左端右端
可见该求积公式代数精确度为
6、 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度

解：解题过程与上题类同，所得结果
代数精确度为
7、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

解：解题过程与上题类同，所得结果
代数精确度为

8、 求积公式具有多少次代数精确度
解：依次取代入积分公式，得左端=右端
当取时，左端右端，故公式的代数精确度为
9、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得
得
公式的代数精确度为

10、 试确定下列求积公式的代数精确度

解：依次取代入积分公式，得左端=右端
当取时，左端右端，故公式的代数精确度为
11、 试确定常数,使求积公式

有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?
并用此公式计算积分（结果保留5位小数）
解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得
对应求积公式
依次取代入积分公式，得左端=右端
当取时，左端右端，故公式的代数精确度为
由于求积公式节点数，而代数精确度
可见该求积公式是Gauss型求积公式

12、 求出二点Gauss求积公式

中系数，及节点，。
并用此公式计算积分（结果保留5位小数）
解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得

由可得，
继而可求得 , 及
对应求积公式：
对于，利用变量代换：，则

13、 试证明高斯求积公式的求积系数恒为正
注：本题不用考虑
14、 确定常数及使求积公式

具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？
并用上述所得公式计算积分的近似值（计算过程保留6位小数）.
解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得
解得：
相应求积公式：
取代入公式，有左端=右端
取代入公式，有左端右端
可见求积公式代数精确度
而公式具有节点数，而
所以，该求积公式为Gauss型求积公式

15、 求积公式的代数精确度为多少阶
解：依次取代入积分公式，得左端=右端
当取时，左端右端，故公式的代数精确度为
16、 利用复合梯形公式近似计算定积分，要求计算误差不小于，试估计区间等分数
解：根据复合辛普森公式的余项
这里
注意到
故有
令，解得
可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求