数学归纳法和数列的相关知识.doc

等差和等比数列
名称
等差数列
等比数列
定义
an - an-1 = d (n≥2)
(n≥2)
通项
公式
an = a1 + (n-1)d
= am + (n-m)d n∈N*
an = a1·q n-1
= am·q n- m n∈N*
递推
公式
an - an-1 = d , an = an-1 + d
an = an-1q ,
前n项
和

已知Sn
求an

中项
a, A,b成等差数列，
a,A,b成等比数列，
性质1
若项数m + n = p + q ,则am +an = ap + aq
若项数m + n = p + q ,则am an = ap aq
性质2
{an}为等差数列，公差d′= K2d
Sk = a1 + a2 + a3 +…… +ak
S2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 +…… +a2k
S3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+……+a3k
{an}为等比数列，公比q′= qk
Sk = a1 + a2 + a3 +…… +ak
S2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 +…… +a2k
S3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+……+a3k
性质3
{an}{bn}为等差数列，Sn,Tn为前n项
和：

性质4

|q|<1,
则
设 法
a-d,d,a+d
a-3d, a-d, a+d , a+3d

证 明
递推法 an+1 - an= d（d与n无关）
a2 - a1 = d
等差中项法 2 an= an+1 + an-1
() ; an2= an+1 ·an-1
Sn max
求法
①an>0, an+1<0,求出n,再求Sn ;
②配方Sn = an2 + bn
= a(n+

求通项的方法
（1） 转化法（转化成等差和等比）
1、 已知数列{an}的各项为正数，满足2sn=3an-3 ,求（1） 数列{an}的的通项公式；
2、 已知数列{an}的各项和为sn，满足2sn-1sn+an=0 , 求（1）求证：；（2） 数列{an}的的通项公式；
3、 在{an}中，a1=2,an+1=3an+2
4、 在{an}中，a1=1,an+1=3an+2·4n
5、 在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
（2） 叠加和叠乘
1、在数列里，第n 项及前n项和满足，求数列的通项公式
2、在数列里，
求数列的通项公式
（3） 构造法
1、在数列中，
（I）设，求数列的通项公式； （II）求数列的前项和
2、在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；
3、设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。

（4）已知求求an
1、设数列的前项的和
，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：
2、数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
3、数列{an}中，a1＝5, an＝an－1＋an－2＋……＋a2＋a1,
(1) 求通项公式an； (2) 求.
4、已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，
求和的方法
（1） 列项相消
1、设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设
2、等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．
解：（I）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为

所以
所以
当n为偶数时，

当n为奇数时，

综上所述，

3、（天津2011）已知数列与满足：， ，且．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
（I）解：由
可得
又

（II）证明：对任意
① ②
③ ②—③，得 ④
将④代入①，可得
即
又
因此是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有

将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而

所以，对任意，

对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意

（2）错位相减
1、已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20
(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8

即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得
an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1

＝－2n＋1
＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn
＝2·－2nqn
＝2·
所以Sn＝2·
综上所述，Sn＝
等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；（2）当b=2时，记 求数列的前项和
3、数列的通项，其前n项和为.
(1) 求;
(2) 求数列｛｝的前n项和.
解: (1) 由于,故

,

故 ()
(2)

两式相减得

故

数学归纳法
1、在数列中，=1，，其中实数。
求的通项公式；

2、等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值； （11）当b=2时，记 .
证明：对任意的 ，不等式成立

3、设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
4、数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
解: (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
(1)当n = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

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