全等三角形综合练习(四至七).doc

B
1
2
D
C
A
全等三角形综合练习（四）
1． 已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC+CD。

A
B
C
D

2． 已知：平分，。求证：。

3． 如图，已知，，。求证：。

4． 如图，在中，，分别为上的点，且，，。求证：。

C
A
B
G
E
F
D
C
D
B
A
F
E
G
图1
图2
5． 如图1所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。

C
A
B
F
E
G
D

6． 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交
AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF。
（1）求证：BG＝CF。（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

A
B
M
O
P
C
D
7． 已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D。PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论。

A
M
N
E
F
B
C
1
2
3
4
8． 如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。

A
B
C
F
D
E

9． 如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，
DE∥AC交AB于E。求证：AE=BE。

A
B
C
D
10． 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D。
11． 求证：BC=3AD。

A
B
F
C
D
12． 如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D， F为垂足， DE⊥AB于E，且AB>AC。求证：BE－AC=AE。

B
C
N
D
E
M
A

13． 如图，BD平分∠MBN，A、C分别为BM，BN上的点，且BC>BA，
E为BD上的一点，AE=CE，求证：∠BAE+∠BCE=180°。

A
D
C
B
E
G
F

14． 如右图E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．
求证：AE=FG．

A
B
C
D
E

15． 如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE的大小．

A
B
C
D
E
1
2

16． 四边形ABCD中，AD∥BC，E是线段DC的中点，AE是ÐBAD的平分线。
求证：BE是ÐABC的平分线。

17． 如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B。求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN。
A
B
M
N

A
B
C
F
E
M
18． 在ABC中，AB = AC， E是AB上任意一点， 延长AC到F，使BE = CF，连接EF交BC于M。 求证：EM = FM。

全等三角形综合练习（五）
A
B
C
D
E
1
2
1． 已知：如图，四边形中，平分，于，且，求证：。

A
B
C
D
E
F
1
2
2． 如图，已知是的中线，于，于，且。
求证：（1）是的平分线；（2）。

A
B
C
D
E
1
2
3． 如图，等腰直角三角形中，，为腰上的中线，
交于。求证：。

A
B
C
D
E
F
G
4． 在中，，是角平分线，与高交于，
作交于。求证：。

B
A
C
D
5． 如图，已知是等边三角形，，说明的理由。

B
A
C
E
D
F
6． 如图，在中，是中线，交于，且，
说明的理由。

A
B
M
P
C
N
7． 如图，在中，，，，求的度数。

A
B
C
M
N
8． 如图，在中，，、为边上的两点，并且，。求的度数。

A
B
C
D
F
M
E
1
2
9． 如图，已知，，，，
，说明的理由。

A
B
C
D
E
F
1
2

10． 已知：，，，是的中点，
求证：。

A
B
C
D
E
F
1
2
11． 已知：，，，求证：。

A
B
C
D
E
12． 已知：平分，，。
求证：。

D
A
B
C
E
13． 如图，四边形中，，、分别平分、，
且点在上，求证：。

A
B
C
D
E
F
14． 已知：，，，，求证：。

15． 如图，已知，的平分线与的平分线相交于，的连线交于。求证：。
A
B
C
P
D
E

16． 如图所示，已知，，。求证：（1）；（2）。
A
B
C
E
F
M

A
B
C
F
D
E
17． 在中，，为上的中线，作，如图，连结交于。求证：。（提示：作边的中线。）

C
F
G
E
D
B
A
H
18． 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE
相交于点H．证明：△ABG △ADE 。

A
B
C
F
D
E
19． 如图，直角梯形纸片中，，，。折叠纸片使经过点，点落在点处，是折痕，且。（1）求的度数。（2）求的长。

A
B
C
D
E
M
20． （2011年山东省日照市）如图，已知点为等腰直角内一点，，为延长线上的一点，且。（1）求证：平分。（2）若点在上，且，求证：。

21． 在中，，点是直线上一点（不与、重合）。以为一边在的右侧作，使，，连结。
（1）如图1，当点在线段上时，如果，则 度。
（2）设，。
①如图2，当点在线段上移动时，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由。
②当点在直线上时，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论。
A
B
A
B
C
E
D
C
E
图1
图2
备用图1
备用图2
A
A
B
C
B
C

全等三角形综合练习（六）
A
B
C
D
F
1． 如图，在四边形中，，平分，，连结、。求证：是的平分线。

A
B
C
D
M
E
2． 两个全等的含、角的三角板和如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结、。试判断的形状，并说明理由。

3． 如图，中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连结。设交于，分别交、于点、。
（1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明（和全等除外）；
（2）当是全等三角形时，求；（提示：要分三种情况讨论。你知道为什么要讨论吗？）
A
B
C
E
F
D

4． 在中，，将绕点沿顺时针方向旋转得，使点落在直线上（点不与点重合）。（1）如图1，当时，写出边与边的位置关系，并加以证明；
（2）当时，写出边与边的位置关系（不要求证明）；
（3）当时，请你在图2中用尺规作图法作出（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得到的结论是否还成立？并说明理由。
A
B
C

图1
图2
A
B
C

5． （1）如图（1），点是线段上的一点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结。求的大小。
A
A
B
B
C
O
O
C
D
E
D
E
图（1）
图（2）
（2）如图（2），固定不动，保持的形状和大小不变，将绕点旋转（和不能重合），求的大小。

A
B
C

D
F
E
6． 如图，在中，将绕点顺时针旋转得，交于点，分别交、于、两点。观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论。

7． 如图，已知中，，，点为的中点。
（1）如果点在线段上以/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动。
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒钟后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
A
B
C
D
Q
P

8． 如图1，若和为等边三角形，、分别是、的中点，易证：，是等边三角形。
（1）当把绕点旋转到图2的位置时，是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当绕点旋转到图3,位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当时，与及的面积之比；若不是，请说明理由。
A
B
C
D
N
M
E
D
A
B
C
N
M
E
A
B
M
E
N
C
D
图1
图2
图3

全等三角形综合练习（七）
A
F
D
C
E
B
1． （2009年安顺）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2． （2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，
AD与BE相交于点F．（1）求证：≌△CAD； （2）求∠BFD的度数．
A
B
C
E
F
D

A
B
C
D
O
E
3． （2009年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O。
求证：（1）△ABC≌△AED； （2）OB＝OE。

A
C
B
D
P
Q
4． （2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

5． （09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
A
B
C
D
E
P
F
M

6． 如图1，在Rt△ACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，，将一个直角的顶点放在点O处，两直角边分别交AC、BC于M、N。
（1）求证：CM+CN=AC。

图1

（2）如图2， 若点M、N分别在AC、CB的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。

图2

7． 如图1，在△ABC中，AB=AC,AC⊥AB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F。
（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CFCE=AC。
（2） 如图2，点F在线段CA的上时， AC、CE、CF三条线段的数量关系为

（图1）
（图3）
（图2）

（3）如图3，点F在线段AC的延长线上时， AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。

8． 如图，在∠EAF的平分线上取点B做BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P,顺时针做∠PBQ=2∠ABC,另一边交AE于点Q。
（1） 当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC。
（2） 当点P在点A左侧时，AQ、AP、AC三条线段的数量关系为 。
A
P
C
B
E
F
Q
A
P
C
B
E
F
Q

9． 如图1,在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH⊥BC于点H,点E是BC上一点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M。
（1）若点M在CD边上时求证：FM-DM=CH。

（图1）

（2）如图2 若点M在CD边的延长线上时，FM、DM、CH三条线段有怎样的数量关系？
A
B
C
H
E
F
M
D
说明理由。

10． 已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．
（1）如图1所示，当都在的同侧时，求证：BE+AD=AB；
（2）如图2所示，当都在的两侧时，BE、AD、AB三条线段的数量关系为 。
A
B
E
C
D
M
N

11． 已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45°角的顶点与点A重合,两边分别为射线AP和射线AQ,过点C作AC的垂线交AQ于N;过点B作AB的垂线交AP于M,连接MN
（1）如图1当射线AP和射线AQ在∠BAC内部时，求证BM+CN=MN
（2）如图2当射线AP和射线AQ在AB两侧时（1）的结论还是否成立，说明理由。
（3）如图3当射线AP和射线AQ在∠BAC外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。

12． 已知AB=AC，∠BAC=90°，过点C作AC的垂线交射线AR于点E，将△ACE以AR为轴向上翻折，翻折后点C落在点G处，再过点B作AB的垂线，交射线AG于点D。
（1）如图1，当射线AR与射线AG都在∠BAC的内部时，求证：AD=BD+CE；
（2）如图2，当射线AR在∠BAC的内部，射线AG在的∠BAC外部时，（1）的结论还是否成立，说明理由；
（3）如图3当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。

2011年中考题欣赏
17．（2011贵州安顺，17，4分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
A
B
C
D
P
O
x
y
第17题图
A
B
C
P
D

第10题图

【答案】P（3，4）或（2，4）或（8，4）

10．（2011年乌鲁木齐市）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）A． B． C． D．1
B
A
D
E
F
G
C
第24题图
24．（2011年重庆市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB，CD=2，BC⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，
连结EG、AF。求证：CF=AB+AF。

20．（2011年山东省聊城市）(8分)将两块大小相同的含30º角的直角三角板(∠BAC＝∠B1A1C＝30º)按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90º)至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
(1)求证：△BCE≌△B1CF；
(2)当旋转角等于30º时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
C
B
B1
A(A1)
A1
A
E
F
C
B
B1
图1
图2