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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,内容简介,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目 录,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to 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level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中国铁道出版社,*,Click to edit Master title style,计算机数学基础教程,本书是整合计算机专业以及相关专业必备数学基础知识而编写的教材。全书共分7篇17章；内容包括数学基础、微积分与级数、高等代数与线性代数、空间解析几何与图论、数理逻辑、概率论与数理统计等基础数学分支。本书编写贯彻少而精、重基础、重实践的原则。其特点主要是，内容分布均匀、重点突出、选材重在基础和必备，按数学自身规律有机组织知识内容、教材体系完整统一。,本书针对应用型计算机专业以及相关专业学生编写；适合应用型普通高校及高职高专院校计算机专业及相关专业学生教学使用；也可以用作IT行业从业人员为提高数学基础知识的读本或专业培训教材。,本书特色,按数学自身规律组织教材内容；,实现课程优质教学。,内容分布均匀、合理；,适合计算机专业基础知识的需求。,培养目标明确课程学时适宜；,建议128学时。,注重实践，学以致用；,例题丰富，课外练习适量。,第一篇 数学与计算机数学,第1章 绪论,第二篇 数学基础,第2章 集合与关系,第3章 函数,第三篇 微积分,第4章 极限与连续,第5章 导数与微分,第6章 不定积分,第7章 定积分,第8章 无穷级数,第四篇 代数,第9章 行列式、矩阵与向量,第11章 抽象代数,第五篇 空间解析几何与图论,第12章 空间解析几何,第13章 图论,第六篇 数理逻辑,第14章 命题逻辑,第15章 谓词逻辑,第七篇 概率论与数理统计,第16章 概率论基础,第17章 数理统计基础,友情提示,本课件几乎包括了教材的全部内容。但任课教师最好根据教学对象的认知条件和教学目标，进行必要的选择、修订和删改，以便更好地适应教学要求；,课件制作了颇多的动画，视觉效果可能是比较好的；但是，由于PPT的功能缺陷，使容易在不当操作时变形；提醒任课教师谨慎操作和使用。在上课前最好先试用一遍，了解正确的操作过程。最好再留有一个副本，以便必要时复用。,本教材和本课件中可能存在许多谬误之处，请任课教师不吝赐教；并尽可能通知作者，以便在适当时候修正。容作者先表示感谢。,联系方式：,jlshi,第,1,章 绪论,计算机数学,基础教程,本章目录,第1章 绪论,第一篇,数学与计算机数学,本章目录,1.1 数学,1.2 计算机数学,1.3 计算机数学的教学和学习,内容要点,数学的意义,1,数学的发展历史与实践,2,数学的主要特性,3,计算机数学的产生与,构建,4,计算机数学内容的规范与组织,5,计算机数学的教材与学习,6,1.1 数学,恩格斯说：,“,数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学。,”,1，,数学是,研究数的学问,数学源于“现实世界”,；,数学研究事物的内在数量关系及外部几何形体的特性；,数学的研究内容则是数与数之间的关系及空间形式；,研究数量关系是数学的主要内容；,数学是研究抽象符号之间关系的一门科学。,1.1 数学,计算机的主要用途,数学的发展,早期,主要用于,数值计算,第一阶段,自然数,几何学,加工处理的对象：,纯粹的数值,第二阶段,解析几何,微积分,数值计算的关键,如何得出数学模型（方程）？,第四阶段,离散数学,组合数学,第三阶段,集合论,数理逻辑,2，,数学的发展历史与实践,基础性,一切科学和技术都需要数学,数学是科学不可动摇的基石,严谨性,表现形式按严格的规则组织,在推导上按严格的规则推理,应用性,数学是人类知识活动的有力工具,用数抽象事物,用数学符号和语言形式化,用数学规则构建数学理论,抽象性,1.1 数学,3.,数学的主要特性,1.2 计算机数学,1,，计算机技术的发展催生了计算机数学的诞生,计算机数学是学习和应用计算机,所,需要掌握的数学知识的汇集。,计算机,的,硬件,原理,和软件,设计，都基于一种,问题,的,数学模型,；,计算机系统是一种以数学为基础的装置。,计算机,的运作,以离散数学为基础,，,计算机,的,应用,以,连续数学,为基础。,连续数学,需要,建立,相关,的离散,数学,模型。,数学教学,是,提取具有公共基础性的数学分支构成,，以,利于计算机专业的,基础数学的教学,。,1.2 计算机数学,2,，计算机数学的构建原则,计算机数学综合,多门数学课程,，,删繁求简、择其基础,；,少而精，重应用,。,计算机数学,按数学规率组织内容，安排,顺,序，,使,达到知识的整合性、内容的完整性、体系的统一性。,计算机数学,在,内容,上,互相沟通、互相交融；,使,概念统一，理论统一，教学统一；,把,多个,数学,分支组成一个统一整体。,1.2 计算机数学,3,，计算机数学的内容规范和组织,计算机数学内容的一般包含，,（1）连续数学部分,：,连续性概念、微积分、级数、多元微积分、微分方程、数值计算，概率及数理统计,等,。,（2）离散数学部分,：,集合论、图论、代数（包括高等代数、线性代数及抽象代数）、解析几何、离散概率、数理逻辑及组合数学等。,计算机数学内容的,最小,包含，,（1）连续数学部分,微积分,（2）离散数学部分,集合论、图论、代数与数理逻辑。,根据不同层次的学校、不同专业及不同要求,在最大集合及最小集合间选择,1.3 计算机数学的教学和学习,1,，计算机数学的教学,以建立必要的数学基础知识与数学应用能力为宗旨组织内容、教学体系和教学过程。,在内容的深度和宽度上也可以进行适当选择和协调；如尽可能减少或回避理论证明，多引入应用实例、指导问题数学建模等内容。,1.3 计算机数学的教学和学习,2,，计算机数学的学习,建立必须,的数学知识和,数额学,素养,学习,和,掌握基本的数学知识和应用能力,要学会用数学思维思考问题。,1.3 计算机数学的教学和学习,3,，本教材的内容体系,集合论,数学的基础,连续数学部分,极限与连续、微分与积分、级数等,代数,高等代数、线性代数与抽象代数,代数的继续,空间解析几何与图论,数理逻辑,命题逻辑与谓词逻辑,概率与统计,概率论基础与数理统计基础,第,2,章 集合与关系,计算机数学,基础教程,本章目录,第,2,章,集合与关系,第3章 函数与运算,第,二,篇,数学,基础,本章目录,2.1 集合基础,2.2 关系,内容要点,集合论的数学意义,1,集合的基本概念,2,集合的表示方法与集合间关系,3,集合的基本性质与集合的运算,4,关系的基本概念,5,关系的表示方法与关系的运算,6,2.1集合基础,集合论是一种研究数学基础性问题的数学。,集合与关系是数学的基础,集合是数学的研究对象,关系是数学研究的内容,2.1,集合基础,解释1.,集合,是一些具有共同目标的对象汇集在一起形成的一个集体。,集合一般可用大写字母,S，A，B，,，等表示之。,解释2.,元素,是集合中具有共同目标的对象称元素；或者说，集合是由元素组成的。,元素一般可用小写字母：e，a，b，c，,，等表示之。,解释3.,空集,是不含任何元素的集合，可记为,。,解释4.,全集,是在所讨论或关注范围内的所有元素所组成的集合，称为全集，可记为E。,1.,集合的基本概念,集合、元素、空集与全集,2.1,集合基础,（,1,）枚举法：,在一对花括号中列举出集合中所有元素，元素间用逗号隔开。,形如，,A=a,1,a,2,.,a,n,2.,集合的表示方法,例，,阿拉伯数字字符的集合，表示为，,D,=,0，1，2，3，4，5，6，7，8，9,26个拉丁字母的集合，表示为，,C,=,a，b，c，z,2.1,集合基础,（2）性质刻划法：,用某个能唯一刻划元素性质的p,（公式）,表示之,。形如，,S x|p(x),2.,集合的表示方法,例，,1到100的自然数集合,，表示为，,N=x|x,1 且x,100且x在N中,2008年北京奥运会冠军的集合，表示为，,B=x|x为2008奥运会冠军获得者,2.1,集合基础,（3）图示法：,用平面区域上的一个矩形表示全集；其它集合则用矩形中的不同园表示之,，又称文氏图，形如，,2.,集合的表示方法,全集,某集合,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,（1）集合与元素间的关系：,元素与集合间存在着“隶属”关系,。,若,元素,e属于,集合,S，表示为，eS,若,元素,e不属于,集合,S，表示为，eS,例，,设,N,为,自然数集合,，则,3N，2N,设R为,自然数集合,，则有,2N，2+5iN,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,（2）集合与集合间的关系：,集合A,与集合,B之,间存在着,多种,关系,。,（a）相离关系,若有,元素,e，eA，eB，则A，B为相离关系。图示法表示如右图。,例，,若 A=1，3，5，7，9；B=0，2，4，6，8，,则A，B有相离关系。,若C=a，b，c，d，e；D=s，w，x，y，z，,则C，D有相离关系。,A,B,E,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,（2）集合与集合间的关系：,集合A,与集合,B之,间存在着,多种,关系,。,（b）相交关系,若有,元素,e，eA，eB，则A，B为相交关系。图示法表示如右图。,例，,若 A=1，3，5，7，9；B=0，3，4，5，8，,则A，B有相交关系。,若C=a，b，c，d，e；D=a，b，x，y，z，,则C，D有相交关系。,A,B,E,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,例，,若 A=1，3，5，7，9；B=3，4，5，,则称A包含B。,若C=a，b，c，d，e；D=a，b，,则称C包含D。,A,B,E,（2）集合与集合间的关系：,集合A,与集合,B之,间存在着,多种,关系,。,c）包含关系,对于eB的任何,元素,，必有eA，则称A包含B；表示为A B或B A。图示法表示如右图。,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,例，,若 A=1，3，5，7，9；B=3，4，5，,则称A包含B。,若C=a，b，c，d，e；D=a，b，,则称C包含D。,A,B,E,（2）集合与集合间的关系：,集合A,与集合,B之,间存在着,多种,关系,。,c）包含关系,若A B且有 A，而 B 则称A真包含B；表示为A B或B A。图示法表示如右图。,2.1,集合基础,3,.,集合间的关系-,集合与元素，集合与集合间可以有多种的关系,例，,若 A=1，3，5，7，9；B=1，3，5，7，9，,则A=B。,若C=a，b，c，d，e；D=a，b，c，d，e，,则C=D。,A,B,E,（2）集合与集合间的关系：,集合A,与集合,B之,间存在着,多种,关系,。,c）包含关系,若A B且B A 则称A与B相等；表示为A=B或B=A。图示法表示如右图。,2.1,集合基础,4.,集合的基本性质,性质1.集合元素的确定性：,对于集合S与元素e，或者eS，或者eS；二者必居其一。,性质2.集合元素的相异性：,集合中的元素均不相同。若e,1,S且e,2,S，则e1e2。,性质3.集合元素的无序性：,集合中的元素与其排列次序无关。,性质4.集合与元素的相异性：,在集合论中，集合与元素是两个不同概念。集合是由元素组成，不等同于元素。,2.1,集合基础,4.,集合的基本性质,性质5.集合与元素的相同性：,一个集合可以是另一个集合的元素。,这个性质反映了集合的嵌套性。,性质6.集合的层次性：,设有集合S，则S也是集合，但SS，S是比S更高一层次的集合。同样，有SS，S是比S更高一层次的集合，,。由此类推，可以得到一个集合的多个层次的集合。,性质7.空集是一切集合的子集：,对任一集合S，都有 S。,性质8.所有集合都是全集的子集：,对任一集合S，都有S E。,由性质7和性质8有：,对任一集合S，都有 S E。,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算1.并运算：,将集合A与集合B中所有元素合并的运算。,记为C=AB，所得集合C称为A与B的并集。,A,B,E,C,图示为，,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算2.交运算：,将集合A与B中的公共元素取出的运算。,记为C=AB，所得集合C称为A与B的交集。,图示为，,B,E,C,A,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算3.补运算：,将集合A中所有属于E但不属于A的元素取出的运算；,记为B=A，所得集合B称为A的补集。,图示为，,E,B,A,2.1,集合基础,5,.,集合运算,集合的运算定律：,定律1.交换律：,集合的并、交运算满足交换律。,AB BA AB BA,定律2.,结合律：,集合的并、交运算满足结合律。,A（BC）（AB）C,A（BC）（AB）C,定律3.,分配律：,集合的并、交运算满足分配律。,A（BC）（AB）（AC）,A（BC）（AB）（AC）,2.1,集合基础,5,.,集合运算,集合的运算定律：,定律4.,等幕律：,集合的并、交运算满足等幕律。,AAA AAA,定律5.,双否定律：,集合的补运算满足双否定律。,（A）A,定律6.,互补律：,集合的并、交、补运算满足互补律。,即，,AAE AA,E E,2.1,集合基础,5,.,集合运算,集合的运算定律：,定律7.,同一律：,集合的并、交运算满足同一律。,AEA AA,A AEE,定律8.,吸收律：,集合的并、交运算满足吸收律。,A（AB）A A（AB）A,定律9.,德,摩根律：,集合的并、交运算满足摩根律。,（AB）AB,（AB）AB,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算4.笛卡尔乘-集合的扩充运算：,序偶：,按一定次序排列的两个元素a与b组成的一个有序对，记为（a，b）。其中，a与b分别称为（a，b）的第一分量与第二分量。,序偶是两个元素之间构成的次序；,构成了一种新的、特殊结构的元素；,序偶本身不表示是由两个元素组成的集合。,序偶集：,以序偶为元素所组成的集合,。,（1）两个概念：,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算4.笛卡尔乘-集合的扩充运算：,在集合A与集合B中，将A中元素作为第一分量，B中元素作为第二分量构作的所有序偶所形成序偶集的过程，称为笛卡尔乘；记为A,B。笛卡尔乘所形成的结果集C是一个序偶集，称为A与B的笛卡尔乘积，或简称为笛卡尔积。笛卡尔乘表示如下，,C=A,B（a，b）|aA，bB,（,2,）笛卡尔乘：,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算4.笛卡尔乘-集合的扩充运算：,n个按一定次序排列的元素a,1,，a,2,，,，a,n,组成一个有序序列称为,n元有序组,；记为（a,1,，a,2,，,，a,n,）。其中a,i,（i1,2,n）可称为（a,1,，a,2,，,，a,n,）的第i个分量。,（3）n元有序组与n元有序组集：,以n元有序组为元素所组成的集合称为,n元有序组集,。,2.1,集合基础,5,.,集合运算,运算4.笛卡尔乘-集合的扩充运算：,在n个集合S,1,，S,2,，,，S,n,中,将S,i,（i1,2,n）中元素作为第i个分量构作的所有n元有序组所形成n元有序组集的过程称为n阶笛卡尔乘，记为S1,S2,Sn；所形成的结果集C是一个n元有序组集；称集合S,1,，S,2,，,，S,n,的n阶笛卡尔乘积。表示如下，,C=S,1,S,2,S,n,=(x,1,，x,2,，,，x,n,)x,i,S,i,（i1,2,n）,（4）n阶笛卡尔乘积：,当S=S,1,=S,2,=,=S,n,时，n阶笛卡尔乘积可简记为S,n,；即,S,1,S,2,S,n,=S,n,2.,2 关系,1.关系的基本概念,关系是世间存在的普遍现象。,在数学及众多学科中，对各类复杂关系的研究为其主要内容。这里的关系表现为对各学科中关系的一般性规则的研究。,例如，,人与人之间：,“,朋友,“,，,”“,冤家对头,”,，,“,亲戚,”,，,“,师生,”,，,“,上下级,”,，,“,双亲或子女,”,关系等。,程序间：,“,调用,”,，,“,并行,”,关系等等。,数学上：,“,大于,”,，,“,小于,”,，,“,相等,”,关系，,“,函数,”,关系等。,2.,2 关系,1.关系的基本概念,例如，,集合A=1，2，3 集合B=a，b，c，d，e，f,结果集合R=(1,a),(2,b)，(3,c)，(1,d)，(2,e)，(3,f),集合A与B的一个从A到B的二元,关系R,是一个序偶集；该序偶集是A,B的一个子集；记为 R,A,B。,二元关系一般常称为关系。在从A到B的关系R中，A称为R的前域，B称为R的陪域。当A=B时，称R为集合A上的关系；即R A,A。,关系的定义：,2.,2 关系,1.关系的基本概念,集合A与B的一个从A到B的二元,关系R,是一个序偶集；该序偶集是A,B的一个子集；记为 R,A,B。,二元关系一般常称为关系。在从A到B的关系R中，A称为R的前域，B称为R的陪域。当A=B时，称R为集合A上的关系；即R A,A。,关系的定义：,从A到B的关系R中,凡(a，b)R中的所有aA所构成的集合称R的定义域，记为D(R)；而所有bB所构成的集合称R的值域，记为R(R)。一般而言，A D(R)且B R(R)。,可图示为,2.,2 关系,2.关系的表示法,（1）枚举法：,列出关系中的所有序偶。一般形式,为，,R=,序偶,1,序偶,2,.,序偶,n,（2）特性刻划法：,是一种关系的隐式表示法，即可用一个唯一刻划序偶的性质P表示之,;,一般形式,为，,R=,(,x，y,),P（x，y）,（3）图示法：,表示从A到B的关系R时，A，B中的元素可用图中结点表示；R中的序偶（ai，bj）用从结点a,i,到结点b,j,带箭头的边表示。一般形式,为右图，,2.,2 关系,3.关系运算,(1),复合运算,：,设R是一个从集合X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R与S的复合运算表示为RS；并定义为，,C,=,RS=(,x,z,),|x,X,z,Z,且存在,y,Y有,(,x,y,),R,(,y,z,),S,则,称,C,为R与S的复合关系。,例如，,设X=Y=Z=1，2，3，4，5，且有，,R（1，2）,（3，4）,（2，2）,S（4，2）,（2，5）,（3，1）,则有,RS(1，5）,(3，2)，(2，5),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,R,S,RS,2.,2 关系,3.关系运算,(,2,),逆运算,：,设R是一个从集合X到Y 的关系，即,则R的逆运算定义为,。,例如，,设 X=1，2，3 Y=a，b，c，且有，,R（1，a）,（2，b）,（3，c）,则有,(a，1）,(b，2)，(c，3),1,2,3,a,b,c,R,2.,2 关系,4.n元关系,上面讨论的都是2(n=2)元关系；实际地，还有多元关系。,例如，,设 A=1，2，3 B=a，b，C=，；则有3元关系，,R（1，a，）,（2，b，）,（3，a,）,n元关系的定义：,集合S1，S2，,，Sn所确定的n元关系R是一个n元有序组集，它是S1,S2,Sn的一个子集；亦即有，,R S1,S2,Sn,第,3,章 函数与运算,计算机数学,基础教程,本章目录,第,2,章,集合与关系,第3章 函数与运算,第,二,篇,数学,基础,本章目录,3,.1,函数的基本概念,3,.2,函数运算,3,.,3,实函数讨论,3,.,4,初等函数,3,.,5,多元函数,3,.,6,运算与代数系统,3,.,7,有限集与无限集,内容要点,函数定义与函数表示,1,函数的分类,2,实函数的定义、表示和性质,4,初等函数与多元函数,5,运算与代数系统,6,函数的运算,3,有限集与无限集的概念,7,3,.1,函数的基本概念,函数是数学中的一个基本概念。,函数是一种典型的、规范的关系,函数是一种特殊的、规范的关系,。,函数,建立从一个集合到另一个集合的映射关系。,往往用函数取代关系作为数学的研究内容。,3,.1,函数的基本概念,1.,函数的定义,定义1，,设有集合X与Y，f是从X到Y的关系；若对于每个xX都存在唯一的yY，使得（x,y）f，则称f是X到Y的函数，或称X到Y的映射；可记为 f：X,Y，或 ，或y=f（x）。,在函数f：X,Y中，若X=Y，则称f为X上的函数；Y中对应于x,X的元素y称为X的像，而x称为y的像源。,例子1，,设,自然数集N=0，1，2，3，,若f：N,N,f,(,n,),n+1是函数；且称为后继函数，或称皮亚诺函数。,例子2，,设,实数集R,，,函数f:R,R是一种实数函数，也称实函数。,3,.1,函数的基本概念,1.,函数的定义,定义2，,函数f：X,Y 是一个满足下面两个条件的关系，,(1),存在性条件,：对每个xX,必存在yY,使(x,y)f；,(2),唯一性条件,：对每个xX,仅存在一个yY,使得(x,y)f。,在函数f：X,Y中，,定义域D(f)可表示为D,f,；一般地，Df=X；,值域R(f)可表示为C,f,，一般地，C,f,Y。,3,.1,函数的基本概念,2.,函数的表示,（,1,）枚举法：,用序偶集表示函数,；形如，,F=,序偶,1,序偶,2,.,序偶,n,例子，,设X=x,1,，x,2,，x,3,，x,4,，x,5,，,Y=y,1,，y,2,，y,3,，y,4,，y,5,；,则,可建立函数f：X,Y为,，,f(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),(x,3,y,1,),(x,4,y,1,),(x,5,y,5,),。,3,.1,函数的基本概念,2.,函数的表示,（2）特性刻划法：,用某个能唯一刻划,函数关系,的p,（公式）,表示之,。形如，,F(x,y)|p(x,y)或 yf(x),例子，,f：R,R中，,y x2，,y,x2+2x+1,实函数大都可用特性刻划法表示。,3,.1,函数的基本概念,2.,函数的表示,（3）图示法：,用,矩形或椭圆形表示集合及其中的元素，用箭头线表示函数关系。形如，,3,.1,函数的基本概念,3,.,函数的分类-满射、内射、单射和双射,（1）满射函数和内射函数：,若函数f：X,Y，有C,f,Y，则称f为从X到Y的满射函数；否则称为从X到Y的内射函数。,满射函数例,内射函数例,3,.1,函数的基本概念,3,.,函数的分类-满射、内射、单射和双射,（2）单射函数和多对一函数：,若函数f：X,Y，对任意i、j有ij时必有f(xi)f(xj)，则称f为从X到Y的单射函数，或称为从X到Y的一对一函数；否则，则称为多对一函数。,多对一函数例,单射函数例,3,.1,函数的基本概念,3,.,函数的分类-满射、内射、单射和双射,（3）双射函数：,若函数f：X,Y，是从X到Y的一一对应的；则称f为从X到Y的双射，或称为一一对应函数。若XY，则称f是X上的变换。,双射函数例,3,.,2,函数运算,1.,函数的复合运算,设有函数f：X,Y，g：Y,Z，则f与g的复合运算fg可定义为，,fg=(x,z)|xX,zZ且至少存在一个yY,有y=f(x),zg(y),复合运算的结果是一个函数，称为,复合函数,;,令其结果为h；则有h：X,Z，,即,h f,g,=,g,(,f,(,x,).,3,.,2,函数运算,2.,函数的逆运算,设函数f：X,Y是双射的，则由f构成其逆函数的运算称为函数的逆运算，记为f,-1,。设运算结果为h，则h：Y,X，记为h=f,-1,，并称其为f的,逆函数,或反函数。,逆,运算的结果是一个函数，称为,逆函数或反函数;,令其结果为h；则有h：,Y,X,，,即,h,f,-1,=h(y)；,函数f存在逆函数的条件是，f必须是双射函数。,函数f 函数,f,-1,3,.,3,实函数讨论,1.实,函数-高等数学的主要研究对象,y=f(x)中，,xX是x在D,f,中变化的变量，称为自变量；,yY则是在C,f,中随x而变化的变量，称为因变量。,实函数的定义：,设有函数f:X,Y，其中 且xX往往是在实数段a与b（a0且a1),（d）对数函数：,(a为常数且a且qa1),（e）三角函数：,（f）反三角函数：,3,.,4 初等,函数,4.,初等函数的定义-数学中常用的函数,(,2,),初等函数：,基本初等函数，以及通过运算构造的初等函数。,初等函数的定义：,满足以下条件的函数为初等函数，,1.基本初等函数是初等函数；,2.对初等函数 y=f(x)与y=g(x)作加、减、乘、除运算y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x),g(x),y=f(x)/g(x)，得到的函数是初等函数；,3.对初等函数y=f(z)与z=g(x)作复合函数y=f(g(x)得到的函数是初等函数；,4.通过且仅通过有限次步骤使用2-3而得到得函数是初等函数。,3,.,5,多元,函数,多元函数的定义,多元函数的概念：,函数f：X,Y称为,一元函数；,即由,一个像源决定一个像。,若由,n个像源决定,一个,像,时,，这种函数,就,称为,多元函数,或n元函数。,多元函数的定义：,设有集合X,1,，X,2,，,，X,n,及Y；则f：X,1,X,2,X,n,Y表示从n阶笛卡尔乘积X,1,X,2,X,n,到Y的n元函数，可表示为f（x1，x2，,，xn）=y，其中x,i,X,i,（i=1，2，,，n）。称其为多元函数。,多元函数的例，,设f：RR,R；f (x,y),x+y)|x,R,y,R。该函数f是一个二元运算。,3,.,6,运算与代数系统,1,，运算,在函数的基础上可以建立,运算,的概念；,在运算的基础上可以建立,代数,的概念。,3,.,6,运算与代数系统,1,，运算,运算,是,研究数学的有效手段和工具,常见运算：,四则运算：,加、减、乘、除,代数运算：,乘方、开方、指数、对数,抽象运算,：,集合运算、关系运算,、,微分运算、积分运算,、,行列式运算、矩阵运算、向量运算,3,.,6,运算与代数系统,1,，运算,运算,的定义：,设有集合S上的n元函数,，称f为S上的n元运算。,一个具体的,运算,，由元数和运算符决定,元数，表示为n。,当n=1时，称为1元运算,当n=2时，称为2元运算,当n3时，称为多元运算,运算符，用适当符号表示运算。,如四则运算表示为，（加）（减）（乘）（除）,在数学研究中，可以用抽象符号表示某种运算。,如用“,”或“,*,”等定义某个运算；,3,.,6,运算与代数系统,2，,代数系统,代数又称代数系统或称抽象代数。,以运算为核心,建立基础集合以及运算结果封闭性所组成的一种系统；,代数系统由三部分组成：,（1）集合：是代数系统的基础。集合给出了代数系统的研究对象。,（2）运算：给出代数系统的研究手段与工具。,（3）封闭性：在集合S上的运算结果仍在S中。它表示了运算范围是受限的，即运算受限于集合S。,3,.,6,运算与代数系统,2，,代数系统,例，,（1）整数集Z上带有加法运算的系统构成代数系统,（Z，+）,（2）实数集R上带有加、乘运算的系统构成代数系统,（R，,）,（3）在自然数集N上带有减法运算的系统不能构成代数系统,（N，-）,（4）在整数集Z上带有除法运算的系统不能构成代数系统,（Z，,）。,代数系统,的,定义,：,非空集合S上的k（k 0）个运算,(一元或二元运算)所构成的封闭系统称为代数系统；记为,，,（S，,）,3,.,7,有限集与无限集,1，,有限集与无限集,定义：,对于集合S，若其元素个数有限，则称为有限集；若其元素个数无限，则称为无限集。,集合按性质分为有限集与无限集两种。,任一种集合中的一些特性都不能任意推广至另一种集合中去,。,例，,有限集如：,S=1月，2月，3月，,，12月,A,=a，b，c，d，,，z,无限集如：自然数集N,时间的集合T,3,.,7,有限集与无限集,2，,集合的基数（势）,定义：,集合S中元素的个数称为S的基数或称势，记为|S|。,集合,的基数（或集合的势）是集合的元素的个数的表示,。,例，,集合,S=1月，2月，3月，,，12月,，|S|=12,集合A,=a，b，c，d，,，z,，|S|=26,对于有限集，集合的基数是一个自然数。,对于无限集，其基数用一个专门的符号表示,例，,自然数集N的基数为 （读做Aleph零）,与N一一对应的无限集的基数也为,不与N一一对应的无限集的基数为,与 一一对应的无限集的基数为,3,.,7,有限集与无限集,2，集合的基数（势）,定义：,集合S中元素的个数称为S的基数或称势，记为|S|。,集合,的基数（或集合的势）是集合的元素的个数的表示,。,例，,集合,S=1月，2月，3月，,，12月,，|S|=12,集合A,=a，b，c，d，,，z,，|S|=26,对于有限集，集合的基数是一个自然数。,对于无限集，其基数用一个专门的符号表示,例，,自然数集N的基数为 （读做Aleph零）,与N一一对应的无限集的基数也为,不与N一一对应的无限集的基数为,与 一一对应的无限集的基数为,3,.,7,有限集与无限集,3，,集合的层次,有限集：集合的基数,|,S,|,为有限,时,可列集：集合的基数为 时,连续统：集合的基数为 时,3,.,7,有限集与无限集,4，,连续数学与离散数学,由有限集及基数为,的无限集为基础构成了,离散数学,由基数为 的无限集为基础构成了,连续数学,第,4,章 极限与连续,计算机数学,基础教程,本章目录,第4章 极限与连续,第5章 导数与微分,第6章 不定积分,第7章 定积分,第8章 无穷级数,第,三,篇,微积分,本章目录,4.1,极限的概念,4.2,无穷大量与无穷小量,4.3,函数的连续性及其性质,数列的极限和数列极限的性质,1,函数的极限和函数极限的性质,2,函数极限的运算法则,3,极限存在的判别准则、两个重要极限,4,无穷大量与无穷小量,5,函数的连续性及连续函数性质,6,内容要点,4.1,极限的概念,4.1.1,数列的极限,1.,什么是数列,数列的定义,如下,：,按一定顺序排列的无穷多个数,y,1,y,2,y,3,y,n,称为一个无穷数列,简称数列或序列，并记为,y,n,。数列中的每一个数称为数列的项，其中,y,n,称为数列的通项，或称一般项；其实质是给出计算数列中每一个数的公式。,注意点：,数列有,无穷多个,它们按一定顺序排列。,例如,就是一个数列。,4.1,极限的概念,数列与函数一样，有下列重要性质：,数列的单调增减性,4.1.1,数列的极限,如果数列,y,n,满足,y,1,y,2,y,3,y,n,则称数列,y,n,是单调递增的。准确地说是单调不减的；如果去掉等号，则称是严格单调递增的。如果,y,n,满足,y,1,y,2,y,3,y,n,则称数列,y,n,是单调不增的；如果去掉等号，则称是严格单调递减的。单调递增和单调递减的数列统称为单调数列。,4.1,极限的概念,数列的有界性,4.1.1,数列的极限,对于数列,y,n,，如果存在一个正数,M,，