中学数学解题策略讲义(学生专用).doc

《中学数学解题策略》课程讲义

教师教育学院
任课教师 朱鸿玲

第一章 轨迹

教学目的要求：使学生掌握轨迹探求的方法，学会轨迹问题两面证明的方法
教学方式: 以讲授为主，采取讲练结合的教学方式
教学内容:
第一节 轨迹的意义
第二节 轨迹命题的三种类型
第三节 基本轨迹命题
第四节 三种类型轨迹命题举例

第一章 轨迹
§1 轨迹的意义
一、 轨迹的概念
轨迹概念来源于力学，而形成、完善于几何学。
定义：满足条件C的一切点所构成的图形F，称为由条件C所规定的轨迹。
轨迹定义揭示了以下两方面意义：
（1） 适合条件C的任一点都在图形F上；
（2） 图形F上的任一点都适合条件C。
（1）称作完备性（2）称作纯粹性，它们是轨迹的两个基本属性。
二、 轨迹的证明
与普通几何定理不同的是，对于一个轨迹题，要特别注意两面证的必要性，这是轨迹定义所规定的：
（1）完备性：适合条件C的任一点都在图形F上；
（2）纯粹性：图形F上的任一点都适合条件C。
逆否命题：
（1）完备性：不在图形F上的任一点，必不适合条件C。
（2）纯粹性：不适合条件C的任一点，必不在图形F上；
完备性保证了合于条件的点都在图形上，没有遗漏，
纯粹性保证了图形上的点没有鱼目混珠或冒充，都适合条件。

§2 轨迹命题的三种类型

轨迹命题因叙述方式的不同而分为三种类型，这是由浅入深由易到难的顺序。
第一类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状和位置，如有大小可言，也一并指出。
证明第一类型的命题分为三步：
（1）证完备性，即证明合于条件的点都在指示的图形上，或证其等效命题，即不在所示图形上的点不合于条件;
(2)证纯粹性，即证所示图形上的点合于条件，或证其等效命题，即不合条件的点不在所示图形上;
(3)下结论，即判断命题成立。
不待证明完毕，便说“满足条件的点在轨迹上”或“在轨迹上的点满足条件”，是没有意义的。因为这两句话是不待证明便成立的，至于轨迹是什么图形，在没有完成完备性或纯粹性的证明之前充其量是一种预测。
第二类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状，至于位置或大小，或叙述不全，或干脆不说。
解决第二类命题也分三步：
（1）探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定;
（2）证明(其中包括：证完备性、证纯粹性、下结论);
（3）讨论，即研究给定的条件对轨迹的影响，
第三类型轨迹命题，只给出条件，至于轨迹的形状、位置和大小则一概不提。
解这一类型的命题，如解决第二类型一样，只是探求时还麻烦一点而已。
举例:
第一类型：距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。
第二类型：距两定点等远的点的轨迹是一条直线。
第三类型：求距两定点等远的点的轨迹。

§3 基本轨迹命题

下列轨迹命题乃读者所熟知，述而不证，以备应用·
1．距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线·
2．距两相交直线等远的点的轨迹，是两条互垂的直线，它们平分两定线所成的角·
3．距两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行于它们的一条直线即两平行线的公垂线段的中垂线·
4．至定直线的距离为定长的点的轨迹，是平行于定直线的两条直线，各在定直线的一侧且距离定线等于所设定长·
5．至定点的距离为定长的点的轨迹为一圆周，以定点为其中心而以定长为半径·
6．对定线段的视角为定角α (0<α<2d) 的点的轨迹，是对称于定线段(所在直线)的两个圆弧，以定线段为弦而其内接角等于α.
不但会说出还要会作出这两圆弧·
特别，当α= d时，轨迹变为以定线段为直径的圆周·

§4 三种类型轨迹命题举例
1. 第一类型轨迹命题举例

上面已讲过，第一类型轨迹命题中含有条件以及轨迹的形状、位置乃至大小，我们所要做的只是互逆的两面证明，以证实结论·

例1 设一点与一定圆的距离等于圆半径,则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并.
假设:点P与定圆O(r)的距离PA=半径r
求证:点P的轨迹是点O和圆O(2r)
证明: 1º证完备性
设 P在圆O(r)内部,连P,O两点延长交圆于A点,
则由假设OP=OA-PA=0，即点P重合于圆心O.
若P在圆O(r)外部,连P,O与O(r)交于A点则PA=r
则OP=OA+AP=r+r=2r,即点P在圆O(2r)上.
2º证纯粹性
根据定义,点O到圆O(r)的距离是r,即点O合乎条件.
其次在圆O(2r)上任取一点P,因P在圆O(r)外部.
线段OP必交圆O(r)于一点A,且AP=OP-OA=2r-r=r.
即点P合乎条件.
3º由1º,2º,所以合乎条件的点的轨迹是点O和圆O(2r)的并集.

例2 给定直角XOY，一条定长（记为a）的线段AB两端在角的两边上滑动，则AB中点P的轨迹是以O做中心以做半径的圆被角的两边所截的弧QR（见图）
证：10完备性（即要证满足条件的AB线段上的中点P的全体，都在RQ上）
设P为AB中点，则P为直角△OAB斜边中点。
∴OP=AB=
即点P确在弧QR上。
20纯粹性（即弧QR上任一点均是满足条件的P）
在弧QR上任取一点P，以P为中心作通过点O的圆，
交直角XOY的两边于A、B。由于
∠XOY=Rt∠。
∴AB是直径，P为中心，做A、B、P共线。
故AB=2PO=a即P是一条定长线段AB的中点。
∴P的轨迹是以O做中心以做半径的圆被角的两边所截的弧QR

2. 第二类型轨迹命题举例

第二类型的轨迹题，结论只给出轨迹形状，而位置、大小或缺，或叙述不全，因而需进一步探求，完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。整个求解过程：包括写已知与求证，探求、证明完备性与纯粹性、讨论等步骤.
初等几何上的轨迹，不外（1）直线，（2）射线，（3）线段，
（4）圆(可缩为孤立点)，（5）圆弧，（6）以上图形的合成图形
轨迹探求法：（1）描迹法（2）预测轨迹性质（3）确定轨迹上的特殊点（4）研究轨迹上任意点与特殊点的关系（5）几何变换法（6）条件代换法等
例1 和两定点距离之比等于定比（不等于1）的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏（Apollonius）圆.
设A、B点为定点（如图）,求点M的轨迹，使比

A
B
C
D
O
M
A’
定数()

探求：若一点合于此条件，显然关于直线的对称点也合于条件，即所求轨迹以
为对称轴，那末就是直径在上的一个圆了.设内分线段于,外分于,使

那末点和合于所设条件,轨迹可能是以做直径的圆周了.
证: 设为合于条件而不在直线上的任一点,由于,
利用三角形一个角的内外角平分线的性质,容易证明和分别内分和外分,
于是,从而在以为直径的圆上.
设是圆上任一点,过作关于的对称线设它与直线的交点是.既然和是的内外平分线,那末应用连比的性质

但由假设
从而由于和在点的同侧,所以实即点

证完了完备性和纯粹性,所以得结论：所求轨迹是以为直径的圆周.
（证完备性和纯粹性,宜各画一图.）
例2 到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能退缩为一点）。
设A、B 为定点（如图 ），k为定长，求点M的轨迹使满足条件 MA²+MB²=k²
A
B
O
M
L

探求：若点M合于条件，显然M关于直线AB的对称点以及M关于AB的中垂线L的对称点也都合于条件。可见轨迹以直线AB和L为对称轴，因而可能是以AB的中点O做中心的圆。
证：1º设点合于条件，连MO，它是∆MAB的中线，所以有
k²=MA²+MB²=2(AO²+MO²)
于是，MO=1/2≡r
可见合于条件的点M确是在O（r）上，其中r由上式给出。
2°反之，设M为圆O（r）上任意点，则
MA²+MB²=2（AO²+MO²）=1/2AB²+2r²=k²
即M合于所设条件。
所以点M的轨迹是圆O（r）。
讨论：当k〉AB/ 时，轨迹为圆；当k＝AB/时，轨迹是一个孤立点；当k＜AB/时，轨迹不存在，即没有合适条件的点。

例3 到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线。
设、为定点（如图）,为常量(正、负或零)，求满足条件的点的轨迹.
A
B
M
N

探求：若点合于条件，显然关于直线的对称点也合于条件.所以如果轨迹是直线，就一定对称于，因而与垂直.只要知道这直线和的交点，轨迹就完全测定了.由于

可见
此式确定一点以及通过而垂直于的直线
证:由刚才探求过程,合于条件的点是在通过定点而垂直于的直线上(将看作一个有向线段,它的值是唯一确定的).
反之,在上任取一点,则有，即点M满足条件.
所以轨迹是的垂线当时，是众所周知的的中垂线.满足条件的点的轨迹是关于中垂线的对称线.

3. 第三类型轨迹命题举例
第三类型题同样首先要探求轨迹。
例1.设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作AD⊥BC,在半径OA上截OP=AD,当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？
探求：当动点A在B处时，显见OP=AD=0,
故P重合于O，即圆心O是轨迹上的特殊点。
当点A在BC弧的中点M时，AD重合于MO,点P重合于M，所以M是轨迹上的一点。给定的半圆及给定的条件都具有对称性，即以直线OM为对称轴，所以轨迹也以OM为对称轴。普通位置的P点和O,M之间有何关系，在△AOD和△OMP之间，
有 AD=OP ∠DAO=∠POM AO=OM
∴△AOD≌△OMP ,∠OPM=∠ADO=d
∴判断轨迹是以OM作直径的圆周。
证：1）完备性的证明已见探求部分，合于条件的点P在以OM为直径的圆上。
2）在这圆上任取点P，以A表OP线与半圆周的交点，作AD⊥BC,则两个直角三角形AOD和OMP因斜边及以锐角对应相等而合同。
∴OP=AD 即点P合于所设条件。
由1）2）轨迹是以OM为直径的圆周

注意：描画定半圆的A点虽有起讫点B和C，而所求轨迹却循环无端。

习题：
1. 切定直线于其上一定点的圆，其中心的轨迹是定直线在该定点的垂线。
2. 定圆内定长的弦的中点的轨迹是定圆的一个同心圆。
3. 给定两点A、B及AB的一垂线，设通过A、B的动圆交于C，而CM是动圆的直径，求点M的轨迹。

第二章 初等几何变换

教学目的要求：使学生了解图形的相等或合同的概念，学会应用初等几何变换解决几何证明问题
教学方式:采取讲练结合的教学方式
教学内容:
第一节 图形的相等或合同
第二节 运动
第三节 轴反射或对称变换
第四节 合同变换（正交变换）
第五节 初等几何变换的应用

第二章 初等几何变换
§1 图形的相等或合同
设想有两个点集合构成的两个图形和，他们的点之间能建立这样的一一对应，使中任意两点的连线总等于中两个对应点的连线段，那末和称为相等或合同．
显然,一图形与它自身合同，因为可以把它看作两个相重合的图形和，将每一点看作对应于自身．
若等于，显然也等于．
若等于，而又等于图形，则图形等于．
所以有
定理一　　图形的相等具有反身性，对称性和传递性．
定理二　　在相等的图形中，
　与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线．
　两相交直线的交角等于两条对应线的交角．
证：设和是相等图形．
　设的共线点、、对应于的点、、．并设介于、之间．则由图形相等的定义有
，，．
所以，　　　　．
这表明三点、、非共线不可（否则、、构成三角形，就有了），并且介于与之间．
可见直线的相等图形仍是直线，而且，如果点在直线上，则的对应点在的对应线上．
若中两直线和相交于点，则由，和对应于中两直线和，并且的对应点既在上又在上，即是和的交点．在和上各取一点和，他们的对应点、分别在、上．又于对应的距离相等，所以，和因三边对应相等而合同，故．
图形的相等有两种情况．
在平面几何中，两个相等图形，若有两对对应点重合，例如和重合，和重合，则对任何第三对对应点和，或相重合，或对称于重合直线．在前一场合，两图形和称为全（相）等，两图形转向相同．在后一场合，和成为镜照相等，两图形转向相反，这时对应的角的转向相反．（如图）

两个全相等的平面图形，只要有两对对应点叠合，便完全叠合了．两个镜照相等的平面图形，不将其中一个离开平面，再也无法叠合．

§2运动
设有两个相等且转向相同的图形，即两个全等图形，可以利用运动从其中一个得出另外一个。即是说，两个全等图形可用运动而叠合。
运动这一概念是欧几里得《几何原本》的一个基本概念，但未被列入原本的定义、公理、公设等基本概念之内。这是它的缺点之一。希尔伯特的《几何基础》把合同公理当作基本概念，而把运动的概念当作派生的。
所谓运动就是一个变换，把图形F的点变换为图形F’的点，使任意两点间距离（从而使角度）总保持不变，转向也保持不变。
将一图形变换为其自身使其每一点都不动的运动称为幺变换或恒同运动，记作I。
设图形F经一运动R变换为图形F’，则写作R(F)= F’。将F’变回为F的变换仍然保持距离，保持角度及转向，因而也是一个运动，称为R的逆（运动），写作R－1。每一运动的逆存在，并且R－1的逆就是R：（R－1）－1=R。
设运动R将图形F变换为与之全等的图形F’，而运动S变换F’为F’’，由于全等图形有传递性，从F到F’’的变换也是一个运动T，称为两运动R和S按这顺序的乘积。由于
R(F)= F’, S(F’ )= F’’, T(F)= F’’
所以 S[R(F)]=S(F’)= F’’=T(F),
我们写作 T=S·R 或 T=SR.
注意：做运动的先后顺序跟书写乘积的先后顺序相反。
经过一个变换没有变更位置的点和直线，称为这变换的二重点（或不变点或固定点）和二重线。

一、 平（行）移（动）
设给定一向量PQ，以P为始点，以Q为终点。若以图形F上任一点M为始点作向量MM’=PQ(如图)，即MM’与PQ同向平行且相等，则当点M在图形F上变动时，点M’所形成的图形F’称为由F经过平移PQ得来。

一个向量决定一个平移，相等的向量决定相同的平移。长度为零的向量（零向量）决定的平移是幺变换。

定理1 平移是运动。
事实上，设M跟M’、N跟N’是任意两对对应点，则MNN’M’是平行四边形，所以MN=M’N’。距离保持不变，且图形的转向相同。

定理2 两平移的乘积是一个平移。
证：无损于普遍性，设两个平移PQ和QR公有一端点Q（如图）。图形F上一点M经过平移PQ到达图形F’上点M’，点M’经过平移QR到达图形F’’上点M’’。显然有
△ MM’M’’≡△PQR. 所以M’’可以由点M直接经过平移PR得到。

我们同时证明了平移的乘积合于力的平行四边形法则，亦即向量的加法法则。
定理3 平移的逆是平移。
定理4 除幺变换外，平移没有二重点，但有无穷多的二重线，即平行于平移方向的一切直线。
注意：这些线上点点都变了，各直线却没有变。
二、 旋转
将一图形F上各点绕一定点O转动同一角度θ，称为旋转，所得图形F’与F有相同转向，对应的距离相等。所以F’与F全等。O称为旋转中心，θ称为旋转角或转幅。
旋转由旋转中心和转幅所决定。
当θ=2d时的旋转称为半周旋转,又叫中心反射或中心对称变换.对应的图形是由旋转得来的,所以是全等的.
要将一直线绕一定点O旋转θ角,作法如下:
作OH⊥于H,作∠HOH'=θ，并OH'=OH.过点H'作直线'⊥OH'.'就是旋转以后的直线.
这时两线与'的交角即是θ.
平面上的运动有平移,旋转,以及它们的乘积.
§3 轴反射或对称变换
由上所述，两个合同的平面图形如果转向相同,只要有两对对应点与、与相重合，便点点叠合了。即是说，两个全相等的平面图形 与 多经过两回运动就叠合了。例如说，先做一次平移 使与重合，再以为旋转中心，将 上 点旋转到与重合就行了。
如果与虽是合同的，但转向相反，当与 、与重合以后，还须将第一节的图1右图中的与 绕重合了的直线 翻转才能相互叠合。
在平面上给了一定直线 及一图形 ，做出上每一点关于 的对称点以形成的一个对称形 的过程，成为轴反射或轴对称变换。 称为反射轴。经过轴反射，图形的转向改变了。一个是在纸的正面看的形象，一个是在纸的反面看的形象。沿着周界走，看图形所围成的面积，一个在左方，一个在右方。
需要提醒注意的是，这里的轴反射变换改变图形的转向；而§2中所说的中心反射变换是半周旋转，它是运动，保持图形的转向。所以不能认为带有反射招牌的就改变图形的转向。当然空间图形的情况又当别论。
定理1 两个轴反射的乘积是一个运动。
定理2 设直线a∥a，则关于a、a的两个轴反射的乘积是一个平移。

证：设M为任一原象点，由M作直线垂直于a和a，交a于M，交a于M（如图）。以M表M关于a的对称点，以M表M关于a的对称点。
不论M在平面上何处，应用有向线段的加法总有M
M M=M M+ M M=2（M M+ MM）=2MM。
（图上M画在a上方，建议读者把M画在两线之间或a下方，加以验证，以加深对有向线段的认识。）
所以，关于两平行线a和a的两个反射之积等于平移2。平移方向是a和a的法线方向，平移距离是a和a间距离的两倍。
系 每个平移可看作两个反射之积，两反射轴互相平行且垂直于平移的方向，并且其中第一条轴可任意选取，第二条轴便随之而定。

定理3 设直线a与a相交于一点O，则关于a和a的两个轴反射之积是一个旋转。
请读者自作证明，并仿照上面构作一个系，并予以证明。

§4 合同变换（正交变换）

我们在§1讲了图形合同或相等的两种情况，利用平移旋转或它们的乘积（所谓运动），可以把全相等的两个图形叠合起来，即占平面上同一位置；利用轴反射可以改变图形的转向，所以，两个镜照相等的图形，利用轴反射、平移、旋转的乘积，可以使他们叠合。使相等图形叠合的变换就叫合同变换或正交变换，它们是保持距离和角度的。在平面几何，合同变换是由运动跟轴反射组成的。

§5 初等几何变换的应用
一、 利用平移变换证明命题
例1. 任意四边形中一双对边中点的连线段小于另一双对边的半和。
设M是AB的中点，N是CD的中点
求证：MN<1/2（AD+BC）
证：将AD和BC各平移到MP和MQ，则ADPM和BCQM是平行四边形。
从而DP 平行且等于AM,QC平行且等于MB
∵M是AB中点 ∴DP平行且等于QC
即PQ通过CD中点N,且N是PQ中点
MN是△MPQ的中线
∴MN<1/2(MP+MQ) (P52习题7 第11题)
∴MN<1/2(AD+BC)

注意：当AD∥MN∥BC即ABCD为梯形且MN是中位线，或者当ABCD是平行四边形时，不等号改为等号。
另解：连一条对角线 例如BD设其中点为E,
则MN<ME+EN=1/2(AD+BC)

例2.四边形中有一双对边相等,证明另一双对边中点的连线与相等的两边成等角,即四边形ABCD中,AB=DC,M,N各为BC和AD,求证: ∠=∠
证明:作ME平行且等于AB,MF平行且等于DC
四边形ABEM和MFCD为平行四边形
BE平行且等于FC
△BEN全等于△CFN EN=NF
△MEN全等于△MFN∠1=∠2
即∠=∠
另解：连BD,E为BD中点
则有EM=EN=AB
∠1=∠2
∠=∠
例3，以任意△ABC的各边向形外作正方形ABEF,BCMN,ACPQ,
试证以EN,PM,FQ为边所作△的面积等于△ABC的面积的三倍
证：作FI平行且等于EN,连NI,AI,QI,则NI平行且等于EF平行且等于AB
平行四边形ABNI有AI平行且等于BN平行且等于CM
AIMC为平行四边形
IM平行且等于AC平行且等于QPIQ平行且等于PM
所求S=S△FQI=S△AFQ+S△BEN+S△CPM=3s△ABC
例4:在ΔABC中引中线AF和CE.若∠BAF=∠BCE=30°. 求证:ΔABC为正Δ.
证明:先证ΔABC为等腰Δ。
再证一个角是60°即可。
过B作BH∥＝AC ，BG∥＝AC
∴ H，B，G共线。
由AC∥＝HB ＝＞ 平行四边形HBCA ＝＞ ∠2＝∠2’
AC∥＝BG ＝＞ 平行四边形ABGC ＝＞ ∠1＝∠1’
∵∠1＝∠2＝30°
∴∠1’＝∠2’＝30° H 2’ A
∴AH，GC共圆。
又∵AC∥＝HG E
∴AHGC为等腰梯形
∴AH＝CG B F 2 C
∴BC＝AB
在ΔBCE中，由正弦定理：
＝ G

°=1
°
∴°
∴ΔABC为正Δ
二、利用轴反射变换证明命题（在求某些几何最小值时，比较方便）
例1：证明直角三角形中任一内接三角形的半周长大于斜边上的高。（其中内接三角形的三个顶点分别在直角三角形的三条边上）
证：作三次轴对称
∵AC=CD BC=CE
∴平行四边形ABDE
即 CK=CH⊥AB
∴内接三角形周长=SM+MQ+QR＞SR≥KH
例2.已知直角三角形ABC的面积为S,A,B,C关于各自对边的对称点分别为D,E,F,求三角形DEF的面积
证:由对称性知AC平行且等于DF,连BE交AC于H,其延长线交FD于K
又BK=BH=EH
且BH AC,EKFD,
且EK=3BH
故S△DEF=FD·EK
=AC·3BH
=3S△ABC=3S
三、利用旋转变换证明命题
例1 正方形ABCD和A1B1C1D1有共同的中心O，试证AA1⊥BB1。
证 △AO A1 △BO B1
∴AA1⊥BB1 且 AA1=BB1
例2 已知△ABC以AB、AC为边向外侧作正方形ABEF和ACGH
求证（1）△ABC的中线AM⊥FH且AM=FH
（2）FH2+BC2=2（AB2+AC2）
证（1）△AHF△AH′B
∵AH⊥AH′且AH′=AH=AC
∴H′，A，C共线且A是CH′的中点，
AM平行且等于BH′
又∵BH′⊥FH且BH ′=FH
∴AM⊥FH且AM=FH
（2）由中线定理
AB2+AC2=2（AM2+BM2）
2（AB2+AC2）=（2AM）2+(2BM) 2
=FH2+BC2
例3 正六边形ABCDEF，O为中心，M，K为CD，DE中点，BK交AM于L
求证：S△ABL= SLKDM
证 ：四边形ABCM四边形BCDK
∴SABCM=SBCDK
∴S△ABL=SABCM-SBCML
SLKDM=SBCDK-SBCML
∴S△ABL=SLKDM
例4 正方形ABCD的邻边BC，CD上各有一点E，F。
求证：∠AFE>450
证明：△ADF△ABG
则AF=AG
∴△AGF为等腰直角三角形
故∠AFE>AFG=450
例5 ABCDEF是正六边形，K是对角线BD的中点，M是EF的中点，
试证：△AMK是正三角形。
证：设O为六边形的中心，连结OB,OD
OBCD为菱形，则K为OC中点。
则 OC FE
由于K,M分别是OC,FE,中点，则 K,M为这个旋转变换的对应点
∴K M ∴AM=AK ∠MAK= 600
∴△AMK是正三角形
习题
1. C是Rt△ABC的直角顶，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，它们都包含△ABC.求证CEBG.
2. 如图，正方形ABCD的邻边BC，CD上各有一点E，F.
AG=AF,且∠GAF=，求证：GB=DF
3. 以△ABC的AB，AC为边向形外作正三角形LAB，MAC.再以BC为边与△ABC同侧作正三角形NBC，求证LAMN为一平行四边形。

第三章 作图题

教学目的要求：使学生掌握一些基本作图问题，在此基础上学会解作图问题中几种常见有效的方法
教学方式:采取讲练结合的教学方式
教学内容:
第一节 基本作图问题
第二节 轨迹交截法
第三节 三角形奠基法
第四节 应用合同变换解作图问题

第三章 作图题
§1 基本作图问题
1.几何作图问题的意义与作用

假设给了一些条件，而设法求作具备这些条件的图形，这便是作图问题·完成作图以后，便可断言具备某些条件的图形存在，或在什么情况下这样的图形存在，因而使言之有物。这样，解几何作图问题，在某种意义上说，就是存在问题的证明。
工农业生产经常需要改良工具，创造新产品，不仅在设计过程中需要绘图样，即是在零件加工过程中，往往也需要精确而迅速的作图技能。
关于几何作图问题的意义和它在几何课中的地位，这样说是公允的:
几何作图在学习几何中的重要意义是大家公认的·几何作图问题的价值首先在于:完成一个作图题，在学生头脑里能把个别的几何事实具体化起来，将注意力从字面上的几何命题转到这命题所含有的现实几何关系上来·例如，学习了定理"垂直于弦的半径平分这弦"以后，再做一道很容易的题目"过圆内一已知点求作一弦使被此点所平分"，学生是不难解决的·在这时，如果简单地重复定理的条文，来复习巩固这个定理，意义就不大了·相反地，用这定理作为工具来解这个作图题，可以使学生明白到，在这里，不仅半径垂直于弦，反转来，弦也垂直于半径，那末便有积极意义了·因此，我们认为，几何作图的第一个价值在于，几何作图是建立学生的具体几何观念的重要手段，是克服学生单纯死记硬背定理条文的好办法·
其次，同样重要的一点是:几何作图可以提供题材，把所学的命题用来解决某些具体问题，使学生学会学以致用·这一点几乎对于几何课的每一章节都适用·解作图题时还经常要求学生有一定程度的主动性和独立性，也给他们尝试一下自己能力的机会·因此几何作图的第二个价值在于:它为初等几何课程的几乎每个章节提供了练习的材料·
第三，几何作图的学习给制图学提供理论基础，它在实践上的意义是不可忽视的·
作图题的第四个价值，也就是这里指的最后一个价值(按重要性并非最后一个)，是在解作图题的过程中，要运用一系列相当复杂的逻辑思维，解作图题的各个步骤的术语“分析”、“讨论”，就是这一点的具体表现·
2. 尺 规 作 图
初等平面几何的研究对象，不外直线、圆以及由它们或它们的部分所构成的图形·因此，作图工具习惯上限用直尺和圆规(在实际作图过程中，也使用三角板、丁字尺、矩尺、量角器、比例规等作辅助工具)·仅用直尺和圆规经有限次手续的作图，称为尺规作图或规矩作图或初等几何作图·作图限用直尺和圆规，由来已久，从古希腊时代即有此限制，相沿成习·现代工业生产上除了成形具外，使用尺规作图一般已可解决问题了·一些成形刀具还是由线段和圆弧作为基础构成的·
利用直尺和圆规可以完成下列作图:
1. 过两点作一直线;
2. 已知圆心和半径可作一圆;
3. 求直线与直线，直线与圆，圆与圆的交点(若交点存在)·
不能经有限次数使用直尺和圆规完成作图的问题，称为规矩作图不能问题(或不可作问题)·希腊时代的所谓几何三大难题 （三等分任意角、倍立方、化圆为方)，都是尺规作图不能问题·要注意一点，所谓不可作或不可解，并非问题无解，而只是说限用圆规和直尺则不可能·例如任意角的三分之一必然存在，但不能仅用圆规和直尺作出·
初等几何作图的解必须实而有限；例如一点由两平行线决定，即是无解；一点由半径之和小于连心线的两圆决定，也是无解·此种无解的意义，和上面说的不可作，全然不同·不可作是工具问题，添用他种工具，问题就解决了·无解是解的性质问题，必须扩充解的意义，例如说二平行线相交于无穷远点，相离二圆相交于虚点，然后才有解·但无论增加何种工具，不能改变解的性质，使无穷变为有限，使虚变为实·
3. 定位作图与不定位作图
如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做定位作图·例如，“给定三角形，求作它的外接圆”，便是定位作图·
如果求作的图形，只要满足一定的条件，至于画在什么地方可以不计，便叫做不定位作图·例如，"求作定圆的内接正方形"，"给了三角形的底边、高和顶角，求作三角形，都是不定位作图·
按一定步骤作出一个合于所设条件的图形，便说得到这个问题的一个解·凡定位作图问题能作出几个合于条件的图形，便说有多少个解·在不定位作图，由于位置无关重要，凡适合条件但彼此合同的图形，不算作不同的解而只算作一个解·例如"给了三角形的底边、高和顶角，求作三角形"这一问题如果有解，只有一解·
4. 基本作图问题
习知的基本作图问题有
1. 以定射线为一边作一角等于给定的角；
2. 求作三角形，已知
（1） 三边； （2）二边及其夹角； （3）二角及其夹边。
3. 过一点作已知直线的垂线；
4. 过一点作已知直线的平行线；
5. 平分一角；
6. 平分一弧；
7. 作定线段的中垂线；
8. 分一线段成若干等分；
9. 做线段的和或差，作角的和或差；
10. 已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧；
11. 内分或外分一线段成已知比；
12. 作三已知线段的第四比例项；
13. 作二已知线段a、b的第三比例项（a:b=b:x)；
14. 作二已知线段a、b的等比中项或比例中项（a:x=x:b)；
15. 已知线段a、b，求作线段x=；
16. 已知线段a、b，求作线段x=（a>b）.
将这些作图相互组合就可以得到一些较复杂的作图。
5. 解作图题的步骤
解作图题分为四步：
（1） 分析 遇到比较困难不是一目了然的作图题，常假定合于条件的图已作出，研究已知和求作件间的关系，从而得出作图的线索，这过程称为分析，是解题重要的一步。
（2） 作法 根据分析的线索，按作图公法及已知作图题作图。
（3）证明 用以表明所作图形确具所设条件。
（4）讨论 作图题解的有无多寡，定于不定，决定于已知条件的大小、位置及其相互关系，这种研究称为讨论。
作图题不加分析和讨论，很可能遗漏一些解，就象解轨迹问题时只照顾到纯粹性而忽略了完备性一样。
§2 轨迹交截法
轨迹是解作图题的重要工具，一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定。而一点的确定，须用两个条件和.如果能求出合于条件的轨迹以及求出合于条件的轨迹,那么和的交点同时满足条件和.这种由轨迹相交以解决作图题的方法成为轨迹交截法.简称交轨法.
在后面的三角形奠基法以及应用合同变换解作图题中都会使用到交轨法.
§3 三角形奠基法
一些作图题中,往往可以先作成图形的一个三角形,从而奠定了全部图形的基础.即是说,图形的其余部分可由此陆续作出.这种三角形成为基础三角形.这种作图法成为三角形奠基法.
例1:已知三角形底边，高，中线的长，求作△ABC.
分析 设△ABC已作成,底边BC=,高AD=,中线AM=.在Rt△ADM中,有两边为已知长,故可作出,顶点个A位置决定了,要决定B、C两顶点的位置,只要注意BM=MC=.
作法 任作一直角ADM，在一边上截AD=得A点.以A为圆心，为半径画弧交另一边于M.在这边上截取BM=MC=，则△ABC即所求者。
证明 由作法，△ABC合于所设条件。
讨论 当时一解，当时无解。
§4 应用合同变换解作图问题
反射、平移、旋转以及它们的相继使用，都是合同变换。合同变换在证明、求轨迹、解作图题方面，都有广泛应用。
例1：给定直线XY及其同侧二点，在XY上求一点P使APX=BPY
分析：假定P点已求出，满足APX=BPY，作A点关于XY的对称点A'，则APX=A'PX，于是A'PX=BPY，即A'、P、B三点共线。
作法：作A关于XY的对称点A'，连XY异侧两点的直线A'B必与XY交于一点P.
证明：在XY上除P外任取一点Q，则
PA+PB=PA'+PB=A'B, QA+QB=QA'+QB>A'B.
∴PA+PB < QA+QB
讨论：恒有一解。
例2 给定两平行线x及y和它们外侧各 一点A、B，求自A至B的最短路线，但介于x、y间的部分须与定直线z平行。
分析：设X'、Y'是x、y上的点满足X'Y'∥z. 要决定X'、Y'的位置使折线AX'Y'B最短. 以M、N表z与x、y的交点，则X'Y'=MN=定长，所以问题在于决定（比方说）Y'的位置使AX'+Y'B为最短. 设将AX'沿MN的方向和距离平移到CY'，则C为定点，且AX'+Y'B=CY'+Y'B≥BC
作法：作AC与MN同向平行且相等，得C点，BC交y于一点Y. 作YX∥z与x相交于一点X，则AXYB是所求。
证明：（略）
讨论：恒有一解

例3 给定三平行线、、，求以上一定点A为顶点作正三角形ABC，使余二顶点在、上。
分析 设正三角形ABC已作出，B在上而C在，若将直线绕A为中心旋转角至，则B点重合于C。所以C是和的交点。
作法 作AH于H，作HAH