二次函数中的存在性问题.doc

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二次函数中的存在性问题（讲义）
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：
①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．
③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
二、精讲精练
1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．

2. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

3. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
（1）若抛物线经过A、B两点，则该抛物线的解析式为______________________；
（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

4. 已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

三、回顾与思考
____________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________
【参考答案】
一、 知识点睛
① 画图分析 ②分类讨论 ③验证取舍
二、 精讲精练
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；
当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
① 若△BAP∽△AOB，如图1，

可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
代入，可知，
② 若△BAP∽△BOA，如图2，

可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），
代入，可知，

当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
③ 若△ABP∽△AOB，如图3，

可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），
代入，可知，
④ 若△ABP∽△BOA，如图4，

可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），
代入，可知，
2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.
要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.
过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.

则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，
∴矩形DGQF为正方形.
则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.
∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）
可得BQ解析式为y=－x+4.
（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.
而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.
① 当∠DCE=30°时，
a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.

则可证△DCH∽△DEK. 则，
在矩形DHQK中，DK=HQ，则.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.
则在Rt△BCQ中，
∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.
∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
② 当∠DCE=60°时，
a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.

则可证△DCM∽△DEN.则，
在矩形DMQN中，DN=MQ，
则.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.
则在Rt△BCQ中，

∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.
∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8
∴在Rt△OAB中，OA=6
∴ A（6，0）
将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，
（2）存在：
如果△AMN与△ACD相似，则或
设M（0<m<6）
1） 假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：

当时，，即
∴
∴
如图2验证一下：

当时，，即
∴（舍）
2）如果点M在x轴上方的抛物线上：

当时，，即
∴
∴M
此时,
∴
∴△AMN∽△ACD
∴M满足要求
当时，，即
∴m=10（舍）
综上M1,M2
4.解：满足条件坐标为：
思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；
(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；

∵点A、P纵坐标差为2
∴点M、N纵坐标差为2；
∵点M的纵坐标为0
∴点N的纵坐标为2或-2
①当点N的纵坐标为2时
解：
得
又∵点A、P横坐标差为2
∴点M的坐标为：
、
②当点N的纵坐标为-2时
解：
得
又∵点A、P横坐标差为2
∴点M的坐标为：
、
(2)当AP为平行四边形边对角线时；

设M5（m,0）
MN一定过AP的中点（0，-1）
则N5（-m，-2）
N5在抛物线上
∴
（负值不符合题意，舍去）
∴
∴
综上所述:
符合条件点P的坐标为：
5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可
由题知：，，，
故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：

①如图1，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
②如图2，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
③如图3，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
④如图4，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
综上，m的值为、、、．
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