八年级下沪科版一元二次方程教案.doc

17．1　一元二次方程
学习目标
1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)
2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)　　　　　　
教学过程
一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃， 它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)

二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】 一元二次方程的识别

下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．
①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；
④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；
⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.

解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．

【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值

a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x＝2x2－ax－3；
(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.

解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．

解：(1)将方程整理得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，∵a－2≠0，∴a≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；
(2)∵|a|＋1＝2，∴a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．∴当a＝－1时，原方程为一元二次方程．

方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【类型三】 一元二次方程的一般形式

把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
(2)－＝；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．

解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．

解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；

(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；

(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.

方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.

探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型

如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．

解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x＋51＝0(0<x＜)．
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．

探究点三：一元二次方程的根

已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个解是x＝1，求m的值．

解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x＝1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可．

解：根据方程的解的定义，将x＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得m＝－4，即m的值为－4.

方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法．

17.2 一元二次方程的解法
第一课时 配方法
学习目标
1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)
2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？

二、合作探究
探究点一：用直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；
(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.
解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．
解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；
(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；
(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，即x1＝5，x2＝－1；
(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y1＝，y2＝－.
方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．
探究点二：用配方法解一元二次方程

【类型一】 用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
(1)x2－2x－35＝0；
(2)3x2＋8x－3＝0.
解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．
解：(1)移项，得x2－2x＝35.配方，得x2－2x＋12＝35＋12，即(x－1)2＝36.直接开平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x1＝7，x2＝－5；
(2)方程两边同时除以3，得x2＋x－1＝0.移项，得x2＋x＝1.配方，得x2＋x＋()2＝1＋()2，即(x＋)2＝()2.直接开平方，得x＋＝±.所以原方程的根是x1＝，x2＝－3.
方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．

【类型二】 利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．
解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0.
∴a－＝0，b－＝0，解得a＝，b＝.
∴a－4＝－4×＝－.
方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．

【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围
请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．
解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．
解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2＝(x－)2＋，而(x－)2≥0，
∴(x－)2＋≥.
∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．

方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．

第二课时 公式法
学习目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)
2．会用公式法解一元二次方程；(重点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
如果一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.

二、合作探究
探究点一：一元二次方程的求根公式
方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．
解析：将方程移项化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.故答案为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，x＝.
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．
探究点二：用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0；
(2)2x2＋3x＋3＝0；
(3)3x2－12x＋3＝0.
解：(1)将－3x2－5x＋2＝0两边同乘以－1得3x2＋5x－2＝0.∵a＝3，b＝5，c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝－2；
(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；
(3)∵a＝3，b＝－12，c＝3，∴b2－4ac＝(－12)2－4×3×3＝108，∴x＝＝＝2±，∴x1＝2＋，x2＝2－.

第三课时 因式分解法
学习目标
1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)
2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．(重点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？
二、合作探究
探究点：用因式分解法解一元二次方程
【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程
用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0；
(2)(x－5)(x－6)＝x－5.
解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法．
解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，所以x＝0或x＋5＝0，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5；
(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，
所以(x－5)[(x－6)－1]＝0，所以(x－5)(x－7)＝0，
所以x－5＝0或x－7＝0，
所以原方程的解为x1＝5，x2＝7.
方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0，观察是否有公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解．
【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程
用公式法分解因式解下列方程：
(1)x2－6x＝－9；
(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
解：(1)原方程可变形为x2－6x＋9＝0，
则(x－3)2＝0，
∴x－3＝0，
∴原方程的解为x1＝x2＝3；
(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，
[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，
(7x－16)(－3x＋4)＝0，
∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

17.3一元二次方程的根的判别式

教学目标：
(一)知识与技能
（1）了解掌握一元二次方程的根的判别式；
（2）不解方程能判定一元二次方程根的情况；
（3）根据一元二次方程的根的情况，探求所需的条件。
(二)过程与方法
经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
(三)情感、态度与价值观
学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力；通过观察、分析、感受数学的变化美，实现数学思想和德育思想的完美渗透。
教学重点：
（1）发现一元二次方程的根的判别式。
（2）用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
教学难点：
弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
教学准备:
教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
教学过程
（一）师生互动，情境导入
1、复习归纳：一元二次方程的根的情况；（并举例）
2、游戏导入：请学生任意列举一个一元二次方程，老师快速说出方程的根的情况；（板书课题）
设计意图：以游戏的方式导入教学，不仅符合学生的年龄特点，同时还能激发学生的求知心理。

（二）合作交流，探索新知
活动1、回顾思考，展开探讨
回顾：求根公式及其由来，用配方法得出求根公式的过程。（多媒体辅助教学）
观察: 对于方程 　在什么情况下可以继续？
探究：学生运用分类的数学思想展开讨论。探究发现，一元二次方程只有当时，才有实数根；而当时，方程就没有实数根。
设计意图：培养学生小组合作、探究交流的能力。

于是得出：方程根的情况分为以下三种：
1）：当＞ 0时， ，
即：方程有两个不相等的实数根。
2）：当＝ 0时, ，即：方程有两个相等的实数根。
3）：当时，方程的右边是一个负数，而左边是一个非负数，方程不成立。即：方程没有实数根。
活动2、师生合作，归纳提升
1）通常，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示，即：△=.
2）归纳如何由△判别一元二次方程的根的情况：
一般地，一元二次方程
当△>0时，有两个不相等的实数根；
当△=0时，有两个相等的实数根；
当△<0时，没有实数根。
设计意图：板书时分两步实施，运用了“推出”和“等价”符号，向学生介绍了新的知识，同时也简化了板书的内容。

活动3、应用迁移，发展能力
练一练：
1、一元二次方程的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.
2、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。
（1）       
（2）      
（3）
   归纳:不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据上述结论判别方程根的情况）。
设计意图：简洁而准确地概括解题的方法与步骤，既方便学生对方法的理解与记忆，同时也交给了学生巧记知识的方法。

活动4、逆向思考，拓展延伸
想一想：根据前面的结论，运用根的判别式可以不解方程就知道方程根的情况，反过来如果知道了方程根的情况，△的值会怎样呢？
学生思考、交流并回答，教师引导归纳（同时说明这三个命题也是真命题），从而得到：
例：当k取什么值时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根？
设计意图：拓展学生视野，提高学生发散思维的能力。
分析：根据题意，方程有两个不相等的实数根可知，>0，即 ＞ 0，即可得出k的取值范围。
试一试：
1. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围。
2、思考：对于方程 (a≠0)中，当a、b、c的符号满足什么条件时，不用计算△的值就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。
（三）总结教学，升华主题
今天我们学习了什么？
1）一元二次方程的根的判别式表达形式、符号、应用。
2）通过根的判别式的研究过程，深刻体会分类的思想方法和转化的思想方法。
设计意图：引领学生思索，引导学生树立积极正确的人生观和价值观。
3）明辨是非,建立一个做人的判别式,做一个对社会有益的人,积极正确的人生观、价值观的导向。

（四）课后练习，巩固提高
课本第36页习题17.3 1、必做题：第1、2、3题。
2、选做题：第4、5题

17.4　一元二次方程的根与系数的关系(1)
1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：
一、问题情境，导入新课：
解下列方程，并填写表格：

方 程

+

观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
二、探究新知：
1、根与系数关系：
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q的关系是：
， 。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
（2）形如的方程，如果，两根为，，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程
∵
∴
∴，
对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵，当时根为：

设，，则

∴

学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

例2、已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？
四、巩固练习：
1、已知方程的两根互为相反数，求k的值。
2、已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。
3、备选题：关于x的方程两实数根的平方和等于11，求k的值。
五、归纳小结：
1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？
六、课后作业：
1、若方程的两个根为，，则，的值是　　　　　。
2、已知是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　。
3、若方程的两根为，，则的值为 。
4、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值。

17.4　一元二次方程的根与系数的关系(2)
学习目标
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值
1， 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋.
解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．
解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－.
(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－；
(2)＋＝＝＝＝－.
方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体带入求解即可．
【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
2， 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．
解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－，
∴x1＝－.又∵x1＋2＝－，
∴－＋2＝－，∴k＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．
【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用
3， 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．
解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由＋＝－1建立方程，求m的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵＋＝＝＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去．当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．

17．5　一元二次方程的应用
学习目标
1．会列一元二次方程解实际问题；(重点、难点)
2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

二、合作探究
探究点一：一元二次方程的应用
【类型一】 增长(降低)率问题
某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率．
解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.
根据题意，得60(1－10%)(1＋x)2＝121.5，则(1＋x)2＝2.25，
解得x1＝0.5，x2＝－2.5(不合题意，舍去)．
答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.　　方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量．
【类型二】 商品销售问题
某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
(50＋x－40)(500－10x)＝8000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.
经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解．
当x＝10时，售价为10＋50＝60(元)，销售量为500－10×10＝400(件)；
当x＝30时，售价为30＋50＝80(元)，销售量为500－10×30＝200(件)．
∵要尽量减少库存，∴取x＝10，此时售价应为60元．
答：售价应为60元．
易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据．
【类型三】 几何问题
要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．

解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．
根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，
解得x1＝10，x2＝30.
检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，不符合题意，所以x2＝30舍去，故x＝10.
答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．
易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．
探究点二：可化为一元二次方程的分式方程
为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不超过12m3，超过12m3的部分，另加收每立方米2元的高额排污费．
(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m3，这使得260m3的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？
(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？
解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量＋3＝原月平均用水量；计划用水时间－原用水时间＝6；(2)该户一年需交水费＝超计划用水费用＋计划用水费用．
解：(1)这户居民计划平均每月用水xm3.由题意，得－＝6.去分母，化简得x2＋3x－130＝0，解得x1＝10，x2＝－13.经检验，x1，x2都是原方程的根，但x＝－13不合实际，舍去，取x＝10.
答：这户居民计划平均每月用水10m3；
(2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(1＋40%)＝14(m3)，需交水费[14×2.1＋(14－12)×2]×4＝133.6(元)，其余八个月需交水费10×2.1×8＝168(元)．∴该户居民一年需交水费为133.6＋168＝301.6(元)．
答：该户居民一年需交水费301.6元．
方法总结：列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验所得未知数的值是不是原方程的根，二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义．

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