数值分析第一次作业答案.doc

作业
1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式
x
0
1
2
f(x)
1
2
9
f’(x)

3

2. P55 11题.给出概率积分的数据表
i
0
1
2
3
x i
0.46
0.47
0.48
0.49
y i
0.4846555
0.4937452
0.5027498
0.5116683
用2次插值计算，试问：
(1) 当x = 0.472时，积分值等于多少?
(2) 当x 为何值时，积分值等于0.5？
解：(1) 取x 0 = 0.47， x 1 = 0.48, x 2 = 0.49

(2)
i
0
1
2
y i
0.4937452
0.5027498
0.5116683
x i
0.47
0.48
0.49

3. 证明方程ex+10x－2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？
4. 设xt＝451.01为准确值，xa＝451.023为xt 的近似值，试求出xa有效数字的位数及相对误差
作业答案
1.解：N2(x) = f (0)+f [0，1](x-0)+ f [0，1，2](x-0) (x-1)
1＋1×(x-0) ＋3×(x-0) (x-1)＝3x2-2x+1
为求得P3(x)，根据插值条件知，P3(x)应具有下面的形式
P3(x)＝N2(x)＋k(x-0) (x-1) (x-2)，这样的P3(x)自然满足：
P3(xi)= f (xi)
由P3’(1 )=3
P3’(1 )= N2’(1 )+k (1-0) (1-2) =N2’(1 )－k = 4－k=3
∴ k =1
∴ P3(x)＝N2(x)＋ (x-0) (x-1) (x-2)=x3+1
3. 证明 令f(x)＝ex+10x－2，
∵ f(0)=-1<0，f(1)=e+8> 0
∴ f(x)= ex+10x－2 =0在[0，1]有根。又
f¢(x)= ex+10 >0(xÎ[0，1])，故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
给定误差限10－6，有

只要取k＝19次.
4. 解： |xa－xt|＝|451.023－451.01|＝0.013<0.05＝0.5×10-1
xa＝451.023＝0.451023×103 ，3－l＝－1，∴l＝4
∴xa有4位有效数字

取=
称为相对误差限。
3