利用向量法求空间角——经典教案.doc

利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回顾向量的有关知识：
a
b
O
（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：
二、知识讲解与典例分析
知识点1：两直线所成的角（范围：）
（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，
问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成
的角与 和 的夹角的关系？
问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角
与 和的夹角的关系？
结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为
例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.
解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系，则
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
，
即 和所成的角为
总结: （1）与相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
知识点2、直线与平面所成的角（范围：）
（图1）
思考：设平面的法向量为，则与的关系？

（图2）

据图分析可得：结论：
例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.
分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
解：如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量为
由取，
设和所成角为

和所成角的正弦值.
知识点3：二面角（范围：）
D
C
B
A
l
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.

结论：
②法向量法
l

l

结论： 或
归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
例3、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则

易知面的法向量为 ，
设面的法向量为，则有 ，取，得，
即所求二面角的余弦值为.
练习1：如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．求二面角的余弦值；
x
z
A
B
C
D

O
F
y
解：取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．设平面的法向量为．，
．
令，得平面的一个法向量
设平面的法向量为．，．

令，得平面的一个法向量
, 所求的二面角的余弦值为。

练习2:
如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。
A
z
y
x
D
C
B
S
图2
解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，）， A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），
∴ ，
显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，
设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则⊥平面SCD
∴
则，
所以面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为。

三、小结： 1．异面直线所成的角：

2．直线和平面所成的角：

3．二面角：. 或
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