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利用对称点解三角形中的格点问题

（本讲适合初中）
如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料．
１ 证明对称点常用的方法
大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．
根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明ＭＰＱ≌ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系．
例１ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°，Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点，∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数．
解：如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ． 图 １

显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称．
则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．
这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”．
例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数．
解：如图２，以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ ∠ＡＤＣ＝３０°．
由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ．
易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°．
则∠ＰＢＣ＝１０°．
这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”．
综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点．
２ 在哪些情况下应想到使用对称点
三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点．
例３ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．
解：如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．
图 ３
由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．
由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．
在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．
在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．
则∠ＰＡＢ＝３０°．
这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．
例４ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．
解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．
图 ４
由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．
由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．
则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．
这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。又由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，想到ＢＱ与ＡＣ的交点Ｄ应为ＢＣ中垂线上的另一点．于是，我们选择了如上的方法找到点Ａ关于ＢＱ的对称点Ｅ．
例５在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°,Ｑ为形内一点，∠ＱＣＡ＝∠ＱＡＢ＝20°．求∠ＱＢＣ的度数．
解：如图５，设ＢＣ的中垂线分别交ＢＡ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ，Ｆ为垂足．连ＱＥ、ＢＥ、ＤＣ．
图 ５
由∠ＡＣＤ＝２０°＝∠ＡＣＱ，∠ＤＡＣ＝８０°＝∠ＱＡＣ，可知点Ｄ与点Ｑ关于ＡＣ对称．有
∠ＡＥＱ＝∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＣ＝６０°．
由∠ＢＥＦ＝∠ＦＥＣ＝６０°，可知∠ＡＥＢ＝６０°＝∠ＡＥＱ．有Ｂ、Ｑ、Ｅ三点共线．
则∠ＱＢＣ＝∠ＥＢＣ＝３０°．
这里注意到ＡＣ是△ＡＱＢ的∠ＱＡＢ的外角平分线（这一点并不引人注目），在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＤＡ＝ＱＡ，则点Ｄ为点Ｑ关于ＡＣ的对称点．为此我们通过ＢＣ的中垂线，把∠ＡＢＣ“翻折”到∠ＤＣＢ的位置，是非常恰当的．
例６ 在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝50°，Ｏ为形内一点，∠ＯＡＢ＝１０°,∠ＯＢＣ＝20°．求∠ＯＣＡ的度数．
解：如图６，过点Ｃ作ＡＢ的垂线交ＢＯ延长线于Ｅ．连ＡＥ．
图 ６
由∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝５０°，可知点Ａ与点Ｂ关于ＣＥ对称．又由∠ＯＢＣ＝２０°，∠ＥＣＢ＝４０°，有∠ＣＥＡ＝∠ＣＥＢ＝１２０°．于是，∠ＯＥＡ＝１２０°＝∠ＣＥＡ．
由∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡ＝３０°，∠ＯＡＢ＝１０°，可知ＡＥ平分∠ＣＡＯ．有点Ｃ与点Ｏ关于ＡＥ对称．则∠ＯＣＡ＝∠ＣＯＡ ＝１２（１８０°－∠ＯＡＣ）＝７０°．
这里从准确的图形我们能够猜想ＡＯ＝ＡＣ，或说点Ｏ与点Ｃ的对称轴经过点Ａ．由于图中没给出对称轴，我们通过ＡＢ的中垂线，将直线ＢＯ“翻折”到ＡＥ位置，从而解决了∠ＣＡＯ的平分线的问题．处理是巧妙的．
综上我们讨论了在图形中出现角平分线时应想到使用对称点．当图形中缺角平分线时，也要设法调整图形，使角平分线及时“出现”，为确定对称关系提供方便．
３ 如何选择对称点的位置
恰当地选择对称点，能够使图形出现更多的特殊性，能够使图形具有更多的好性质，能够使求解来得方便，简捷，新颖，巧妙．为此，选择对称点时，应当以能够出现特殊图形为原则．
３．１ 让对称点落在某线段的中垂线上
例７ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｒ为形内一点，∠ＲＢＣ＝∠ＲＣＢ＝２０°．求∠ＲＡＢ的度数．
解：如图７，以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ形内一侧作正△ＤＡＢ．连ＤＲ、ＤＣ．
图 ７
由∠ＡＣＢ＝３０°，可知点Ｄ为△ＡＢＣ的外心．于是，ＤＢ＝ＤＣ．有∠ＤＣＢ＝∠ＤＢＣ＝１０°，∠ＢＤＣ＝１６０°．
由∠ＲＢＣ＝∠RCB＝20°，可知ＲＢ＝ＲＣ．有ＲＤ为ＢＣ的中垂线，且∠ＲＤＢ＝ ∠ＢＤＣ＝80°．
由∠ＲＢＡ＝３０°，可知点Ａ与点Ｄ关于ＢＲ对称．有∠ＲＡＢ＝∠ＲＤＢ＝８０°．这里以ＡＢ为一边在ＡＢＣ形内一侧作正ＡＢＤ，实质上就是找到了点Ａ关于ＢＲ的对称点，由于点Ｄ在ＢＣ的中垂线上，使求解很方便．
３．２ 让对称点落在某三角形的外接圆上
例８ 在△ＡＢＣ中，∠ABC＝６０°，∠ACB＝４０°，Ｐ为形内一点，∠PBC＝２０°，∠PCB＝10°．求∠ＰＡＢ的度数．
解：如图８，设点Ｄ为点Ｂ关于ＰＣ的对称点．连ＤＡ、ＤＢ、ＤＣ、ＤＰ．
图 ８
在△ＢＣＤ中，由∠ＤＣＢ＝２０°，可知∠ＢＤＣ＝８０°＝∠ＢＡＣ．
有Ａ、Ｄ、Ｂ、Ｃ四点共圆．由ＤＣ平分∠ＡＣＢ，可知ＤＡ＝ＤＢ．易知△ＰＢＤ为正三角形，有
ＤＰ＝ＤＢ．则ＤＰ＝ＤＡ＝ＤＢ，即点Ｄ为ＰＡＢ的外心．
故∠ＰＡＢ＝１２∠ＰＤＢ＝３０°．
这里，点Ｂ关于ＰＣ的对称点Ｄ恰好在△ＡＢＣ的外接圆上，使圆内接四边形的性质能在求解中发挥作用．可见在选择对称点时，能使其位于某三角形的外接圆上，也是很理想的．
３．３ 让对称点与另一点的某个对称点重合
例９ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝40°，Ｐ为形内一点，∠ＰＡＣ＝２０°，∠ＰＣＢ＝30°．求∠ＰＢＣ的度数．
解：如图９，设点Ｄ为点Ｃ关于ＡＰ的对称点．连ＤＡ、ＤＢ、ＤＣ、ＤＰ．
图 ９
由∠ＰＡＣ＝２０°，∠ＰＣＡ＝１０°，可知∠ＤＡＣ＝４０°，∠PDA＝∠PCB＝１０°，则△PDC为正三角形．
由∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，可知ＡＣ＝ＡＢ＝ＡＤ．由∠ＢＡＤ＝６０°，可知△ＡＢＤ为正三角形．有∠ＤＢＣ＝６０°－∠ＡＢＣ＝２０°．
由∠ＰＣＢ＝３０°，可知点Ｐ与点Ｄ关于ＢＣ对称．故∠ＰＢＣ＝∠ＤＢＣ＝２０°．
这里寻到的点Ｄ是点Ｃ关于ＡＰ的对称点，也是点Ｐ关于ＢＣ的对称点．理想的巧合，使解法很漂亮．
以上三例分别说明了选择对称点的常见的目标，当然还会有其他的目标．对这些情况的深入研究，能使我们熟悉和喜欢利用对称点解题，即使在较复杂的问题中，也能顺其自然，轻松流畅地寻出理想的解法来．
例１０ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｒ为形内一点，∠RAC＝∠ＲＣＢ＝20°．求∠ＲＢＣ的度数．
解：如图１０，设点Ｅ为点Ｒ关于ＡＣ的对称点，点Ｄ为点Ａ关于ＥＣ的对称点．连ＤＡ、ＤＲ、ＤＥ、ＤＣ、ＥＡ、ＥＣ．
图 １０
易知△EDA为正三角形，有ＡＤ＝ＡＥ＝ＡＲ．在ＡＣＤ中，易知∠ＤＡＣ＝８０°，可知
∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ＝１８０°．
有Ｂ、Ａ、Ｄ三点共线．得∠ＤＣＢ＝５０°＝∠ＤＢＣ，①
且 ∠ＢＤＣ＝８０°．在ＡＲＤ中，由∠ＲＡＤ＝１００°，可知∠ＲＤＡ＝∠ＤＲＡ＝４０°＝１２∠ＢＤＣ．②
由①、②可知点Ｂ与点Ｃ关于ＤＲ对称．
则∠ＲＢＣ＝∠ＲＣＢ＝２０°．
这里，先是将△ＲＡＣ沿ＡＣ向上翻，然后又将△ＥＡＣ沿ＥＣ向上翻，这一翻再翻，构造出等腰△DBC、正△ＤＡＥ、等腰△ＡＲＤ，证出点Ｂ与点Ｃ关于ＤＲ对称，也就求出了∠ＲＢＣ．其间巧取对称，真是奇妙．
例１１ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝２０°，Ｎ为形内一点，∠ＮＡＢ＝４０°，∠ＮＢＣ＝３０°．求∠ＮＣＢ的度数．
解：如图１１，过点Ｎ作ＡＣ的垂线交ＢＡ延长线于Ｐ．在ＡＮ延长线上
取一点Ｑ，使∠ＱＢＣ＝３０°．连ＰＣ、ＱＣ、ＱＢ、ＰＱ、ＰＮ．
图 １１
由∠ＰＡＣ＝７０°＝∠ＮＡＣ，可知点Ｐ与点Ｎ关于ＡＣ对称．有ＰＣ＝ＮＣ．
由∠ＮＡＢ＝４０°，∠ＡＢＣ＝５０°，可知ＡＱ⊥ＢＣ．有点Ｎ与点Ｑ关于ＢＣ对称．得
ＱＣ＝ＮＣ．
则ＰＣ＝ＱＣ．
易知△ＢＱＮ为正三角形，有ＮＢ＝ＮＱ．
由∠ＮＰＡ＝９０°－∠ＰＡＣ＝２０°＝∠ＮＢＡ，可知ＮＰ＝ＮＢ．
则ＮＰ＝ＮＱ．
易知△ＰＮＣ≌△ＱＮＣ．可知∠ＮＣＰ＝∠ＮＣＱ，即２∠ＮＣＡ＝２∠ＮＣＢ．
得∠ＮＣＡ＝∠ＮＣＢ．
故∠ＮＣＢ＝ ∠ＡＣＢ＝１０°．
这里，一是将△ＮＡＣ向上翻，二是将△ＮＢＣ向下翻，这上翻下翻构造了正△ＮＢＱ，等腰△ＡＮＰ，以点Ｎ为外心的△ＰＢＱ，两个全等的等腰△ＮＣＰ 和△ＮＣＱ．其间，巧用对称，堪称一绝．
三角形中的格点问题，为对称点的使用提供了广阔的空间，只要我们潜心研究，科学归纳，总会有新的规律被发掘和利用．
练习题
题号
在△ABC中
P为形内一点,求出下面空格中的角的度数
答案
∠ABC
∠ACB
∠PBC
∠PCB
∠PAB

1
４０°
３０°

２０°
１００°
10°
2
６０°
４０°
２０°

３０°
10°
3
４０°
２０°

１０°
１００°
10°
4
６０°
２０°
４０°
１０°

30°
5
４０°
３０°
３０°
２０°

40°
6
４０°
３０°
１０°
１０°

70°
7
40°
30°
30°

40°
20°
8
50°
30°
10°
10°

70°
9
40°
30°
10°
20°

100°
10
50°
30°
20°
10°

40°
11
30°
20°

10°
30°
20°
12
70°
40°

30°
50°
40°
13
50°
50°
10°
20°

60°
14
70°
30°

20°
60°
30°
15
60°
20°

10°
70°
20°