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数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

数学分析Ⅰ教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）
一、说明
（一）课程性质
《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．
（三）教学内容
集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．
（四）教学时数及学分
102学时．学分：5分
二、本文
一 实数集与函数 （10学时）
[教学要点]
集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．
[教学内容]
1 实数
实数及其性质；绝对值与不等式．
2 数集与确界原理
集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．
3 映射与函数
映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数．
4 具有某些特性的函数
函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．
二 数列极限(16学时)
[教学要点]
本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型．运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．
[教学内容]
1 数列极限概念
数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限．
2 收敛数列的性质
收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．
3 数列极限存在的条件
单调数列、单调有界定理．基本列、Cauchy收敛准则．
三 函数极限(16学时)
[教学要点]
函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．
[教学内容]
1 函数极限概念
趋于无穷大时函数的极限，趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．
2 函数极限的性质
函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限．
3 函数极限存在的条件
Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy收敛准则．
4 两个重要极限
两个重要极限的推导及其应用．
5 无穷小量与无穷大量的阶
无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．
四 函数的连续性(14学时)
[教学要点]
连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．
[教学内容]
1 连续性概念
连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数．
2 连续函数的性质
连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor定理．
3 初等函数的连续性
指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．
五 导数与微分(14学时)
[教学要点]
导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则， Leibniz公式．
[教学内容]
1 导数概念
导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数．
2 求导法则
求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数．
3 微分
微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计．
4 高阶导数和高阶微分
高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念．
5 参量方程所确定的函数的导数
六 微分中值定理与不定式极限(20学时)
[教学要点]
微分中值定理、Taylor公式及其应用， L`Hospital法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．
[教学内容]
1 微分中值定理
极值、Fermat引理、Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理．函数的单调性与单调区间、运用不等式原理证明不等式．
2 L` Hospital法则
待定型极限、L` Hospital法则、型、型、型、型、型、型、型的极限．
3 Taylor公式
Taylor中值定理、Taylor公式及其Peano型余项、Lagrange型余项、Cauchy型余项．Maclaurin公式，Taylor公式的应用、近似计算、求极限．
3 函数的极值
函数极值、最大值和最小值，最值问题．
4 函数的凸性和拐点
函数凸性和拐点的概念，函数凸性和拐点存在的各种条件，Jessen不等式、运用函数的凹凸性证明不等式．
5 函数图像的讨论
函数的渐进线，运用函数的各种几何性态描述函数的图像．
七 极限与连续性（续）( 12学时)
[教学要点]
在第二、三、四部分我们讨论了极限存在的各种条件，本部分是在上述讨论的基础上通过讨论实数系的连续性继续详细讨论极限存在的各种条件及其内在联系，本段的内容主要包括Cantor闭区间套定理、聚点、Bolzano-Weierstrass聚点定理、Heine—Borel有限覆盖定理的证明和应用，及其运用上述定理证明闭区间上连续函数的性质．
[教学内容]
1 实数完备性的基本定理
Cantor闭区间套定理及其‘闭区间套技术’、Cauchy收敛准则、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理及其‘有限覆盖技术’，实数完备性的基本定理的等价性的讨论与推导．
2 闭区间上连续函数性质的证明
运用上节定理证明闭区间上连续函数的性质—有界性、最大值和最小值、介值性与根的存在定理、一致连续的Cantor定理．

三、参考书目
1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京 ：高等教育出版社，1996．
2、陈传璋 ，金福临 ，朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．北京：高等教育出版社，2002．
3、陈纪修 ， 於崇华 ， 金路著．数学分析（第-一版）．北京 ：高等教育出版社，2002．
4、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京 ：人民教育出版社，1957．
5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京 ：人民教育出版社，1958．
数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

几何学教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）
一、说明
（一）课程性质
《几何学》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．既是学习后继课程的基础，又对中学教学有着指导作用．
（二）教学目的
通过《空间解析几何》部分的学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力.通过《射影几何学》部分的学习，使学生初步了解近代几何的公理化方法和体系，较深入地理解中学几何的逻辑结构，特别是解析几何的理论与方法，从而获得在比较高的观点上来处理中学几何问题的能力.另外，通过本课程的学习，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的基础．
（三）教学内容
在《空间解析几何》部分的学习矢量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论.《射影几何学》部分的学习仿射几何学的基本概念，欧氏平面的拓广，一维射影几何学.
（四）教学时数及学分
102学时，学分：5分.
二、本文
第一部分　空间解析几何（78学时）
一 向量与坐标（22学时）
[教学要点]
向量及其线性运算；向量的内积、外积与混合积；   向量的坐标；向量代数在初等几何中的应用．
[教学内容]
1、向量、向量的模、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、自由向量、共线向量与共面向量的概念，掌握向量的表示方法；
2、向量线性相关与线性无关的概念及相关结论；
3、向量的基本运算，运用向量法证明较简单的几何问题，运用向量的基本知识解决关于共线、共面、定比分点等问题；能解决关于长度、夹角、面积、体积等度量问题；
4、坐标进行向量的相关运算及一些简单问题的证明.
二 轨迹与方程（10学时）
[教学要点]
平面的方程、点到平面的距离；平面间的相关位置；  直线的方程、点到直线的距离；  直线、平面之间的相关位置关系；平面束．
[教学内容]
1、平面曲线、曲面、空间曲线的方程的定义，轨迹与其方程之间的关系；
2、在直角坐标系下建立曲线或曲面方程的基本方法；
3、曲线、曲面普通方程和参数方程的相互转化.

三 平面与空间直线（16学时）
[教学要点]
平面和空间中曲线的概念 ；平面和空间直线方程的各种表示形式及其相关位置； 平面和空间曲线的方程及其各种方程之间的转换，应用．
[教学内容]
1、平面和空间直线方程的各种表示形式；
2、建立平面和空间直线的方程的方法；
3、根据已知条件判断平面与平面、平面与空间直线、空间直线与空间直线之间的相关位置；
4、平面的一般方程与法式方程、空间直线的一般方程与标准方程的互化方法；
5、求两异面直线的距离与公垂线方程的计算方法.
四 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（14学时）
[教学要点]
空间中曲面的概念 ；球面、柱面、锥面；旋转曲面； 二次曲面； 直纹面．
[教学要点]
1、柱面、锥面、旋转曲面的定义及特征，了解直纹曲面的概念，了解椭球面、双曲面、抛物面的标准方程及图形特征；
2、求柱面、锥面及旋转曲面的方程，坐标面内的曲线绕该面内的一条坐标轴旋转时所得旋转曲面的方程的求解方法.
3、求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线.
五 二次曲线的一般理论（16学时）
[教学要点]
欧氏平面上的坐标变换；坐标变换下二次方程系数的变化；  二次曲线方程的化简与二次曲线的分类；
二次曲线的不变量．
[教学要点]
1、二次曲线及其相关定义，了解平面直角坐标变换公式；
2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、主方向与主直径；
3、能够将二次曲线的一般方程化为标准方程.
第二部分　射影几何学（24学时）
一　仿射几何学的基本概念（4学时）
[教学要点]
仿射几何学基本概念初步的介绍．
[教学要点]
1、平行射影、仿射对应、简比、同素性、仿射不变性与仿射不变量的概念；
2、基本的一些仿射不变性与不变量；
3、平面仿射几何基本定理的内容；
4、利用仿射不变性与不变量证明一些简单的初等几何问题.
二　欧氏平面的拓广（6学时）
[教学要点]
中心投影，平面内的理想元素，拓广欧氏平面技改平面上相关的概念；中心投影的基本性质；直线的方程和点的坐标，对偶命题；复直线．
[教学内容]
1、中心投影、理想元素、射影直线、射影平面等概念；
2、中心投影的基本性质；
3、齐次坐标、点几何与线几何、点的方程、直线的坐标等概念，复元素的概念；
4、直线的方程和点的坐标，已知命题的对偶命题，已知图形的对偶图形；
5、复直线上的实点及通过复点的实直线.
三　一维射影几何学（14学时）
[教学要点]
射影平面内的一维射影几何学，点列和线束及其两类基本图形间的对应关系；射影几何的基本不变量——交比．
[教学内容]
1、点列与线束的定义；
2、交比的概念和点列与线束的表示方法；
3、交比的基本性质，点列与线束的交比；
4、一维射影对应表达式及其基本性质，两个一维基本图形成射影对应的充要条件，了解Von studt定理的含义；
5、透视对应的概念，两个射影点列(线束)成透视的充要条件；
6、给定已知一直线上三点A、B、C，能作出第四点D使交比(ABCD)=λ(定数) ；
7、对合对应的概念，对合对应的表达式及其基本性质，对合对应的表达式及二重元素计算.
三、参考教材
1、吕林根、许子道编 《解析几何》（第四版）．北京：高等教育出版社，2005
2、朱德祥编《高等几何》．北京：高等教育出版社，2004
3、梅向明编《高等几何》（第二版）．北京：高等教育出版社，2004
数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

数学分析Ⅱ教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）
一、说明
（一）课程性质
《数学分析（Ⅱ）》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．研究的主要内容是如何求解不定积分和定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础．在第2学期开设．
（二）教学目的
掌握不定积分的概念、计算方法，掌握定积分的概念、可积条件、计算方法及几何意义、定积分的几何应用和物理应用；反常积分和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想，为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识．
（三）教学内容
不定积分，详细讨论定积分和非正常积分的基本理论及其定积分的应用；讨论数项级数和函数项级数的基本理论，幂级数、Fourier级数的基本知识．
（四）教学时数及学分
108学时，学分：6分．
二、本文
一 不定积分（16学时）
[教学要点]
不定积分的概念、性质和换元积分法、分部积分法，不定积分的基本公式，有理函数积分的计算，区分三角函数、无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型．
[教学内容]
1、不定积分的概念和基本公式
原函数、不定积分的定义、不定积分的线性性质、不定积分的基本公式．
2、 换元积分法和分部积分法
换元积分法——凑微法、代入法，分部积分法、基本积分表．
3、 有理函数的不定积分及其应用
有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情形．积分表的使用．
二 定积分（28学时）
[教学要点]
定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定理和定积分的计算，定积分的近似计算．非正常积分的概念和计算及敛散性判别法．
[教学内容]
1、定积分的概念
定积分的引入和概念，定积分的几何意义、利用极限计算定积分
2、可积条件
可积的必要条件、Darboux和的基本概念，Riemann可积的充要条件和可积函数类．
3、积分的基本性质
定积分的基本性质：线性性质、乘积可积和商可积、区间可加性，非负性、保序性、绝对值不等式，估值不等式和积分第一中值定理等．积分上、下限函数．介绍积分第二中值定理．
4、微积分基本定理、定积分的计算
微积分基本定理，Newton—Leibniz公式，定积分的换元积分法和分部积分法，周期函数、奇偶函数的定积分．一些特殊的定积分．Taylor公式的积分型余项．应用定积分求极限．
5、非正常积分
非正常积分的引入，无穷限非正常积分和瑕积分敛散性概念，非正常积分的计算．绝对收敛和条件收敛的概念，非正常积分的Cauchy收敛原理，非负函数非正常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数非正常积分的Abel，Dirichlet判别法．
三 定积分的应用（8学时）
[教学要点]
定积分在几何和物理方面的应用．
[教学内容]
1、平面图形的面积
求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面图形的面积
2、由截面面积求立体体积
几何体的体积和旋转体的体积．
3、曲线的弧长与曲率
求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面曲线的弧长，介绍曲线的曲率．
4、旋转曲面的面积
微元法，旋转曲面的面积简单的计算．
5、定积分在物理学上的某些应用
质量、质心、转动惯量、功、水压力、引力、平均值和均方根．
6、定积分的近似计算
矩形法、梯形法、抛物线法近似计算定积分
四 数项级数（20学时）
[教学要点]
数项级数及敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法．
[教学内容]
1、数项级数的收敛性
数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，级数收敛的Cauchy收敛准则，一些简单的级数求和．
2、正项级数
正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D` Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法．和运用上述判别法判别数项级数的敛散性．
3、一般项级数
交错级数及其Leibniz级数判别法，条件收敛和绝对收敛概念，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质（更序级数等）， Abel变换、Abel、Dirichlet判别法，级数的乘法．
五 函数列与函数项级数（16学时）
[教学要点]
函数列和函数项级数一致收敛的概念和其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性
[教学内容]
1 、一致收敛性
函数列一致收敛的概念及其判别法，函数项级数点态收敛、收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛．函数项级数的Cauchy收敛原理，上确界判别法、Weierstrass判别法，Abel、Dirichet判别法．
2、一致收敛函数列与函数项级数的性质
一致收敛的函数列与函数项级数的连续性、可积性和可导性．
六 幂级数（12学时）
[教学要点]
幂级数概念、幂级数的敛散性及其判定，幂级数的性质，幂级数的运算．Taylor级数、初等函数的幂级数展开，应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．
[教学内容]
1、幂级数
幂级数概念，Abel定理，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D` Alembert判别法求幂级数的收敛半径、收敛域，幂级数的四则运算，幂级数的连续性、可导性和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和．
2、函数的幂级数展开
Taylor级数的概念，函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开．应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．
七 Fourier级数（8学时）
[教学要点]
函数的Fourier级数展开． Fourier级数的分析性质； Fourier级数收敛性的证明．
[教学内容]
1、函数的Fourier级数
Fourier级数历史背景及与Taylor展开的比较；周期为2的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数．
2、以为周期的函数的展开式
以为周期的函数的Fourier级数，偶函数和奇函数的Fourier级数．
3、Fourier级数收敛定理的证明
Parseval不等式及其应用．了解Fourier级数收敛定理的证明
三、教材及参考书
1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京 ：高等教育出版社，1996．
2、陈传璋 ， 金福临 ， 朱学炎， 欧阳光中．数学分析（第二版）．北京 ：高等教育出版社，2002．
3、陈纪修 ， 於崇华 ， 金路著．数学分析（第-一版）．北京 ：高等教育出版社，2002．
4、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京 ：人民教育出版社，1957．
5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京 ：人民教育出版社，1958．
数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

高等代数I教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）
一、说明
（一）课程性质
《高等代数Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．也是理科各学科的一门重要基础课．它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域．高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论．其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用．目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，大部分专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要．
（二）教学目的
通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同．掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向．
（三）教学内容
高等代数I的主要内容有：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组．
（四）教学时数及学分
90学时，学分：5分．
二、本文
一 基本概念（14学时）
[教学要点]
集合；映射、单射、满射、双射；数学归纳法；整数的整除性质、素数、合数；最小数原理；数环、数域．
[教学内容]
1．集合
主要讲授集合的概念、集合的关系、集合的运算．
2．映射
主要讲授映射概念的形成，结合中学函数概念，加以引深和推广，在映射的基础上讲授单射、满射、双射的概念及基本性质，本节的重点是讲授逆映射．
3．数学归纳法
主要介绍数学归纳法原理，它的理论基础是最小数原理．其中分别介绍第一数学归纳法和第二数学归纳法．
4．整数的整除性质
主要介绍整除的定义，其次是介绍带余除法、素数、合数、最大公因数等概念及性质．
5．数环与数域
主要介绍数环、数域这两个基本概念及二者之间的关系．
二 多项式（34学时）
[教学要点]
一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根、C上和R上的多项式、多元多项式、对称多项式．
[教学内容]
1．一元多项式的定义及运算
介绍一元多项式的定义，重点讲解多项式的形式表达式．规定多项式的加法、减法与乘法运算的法则及性质，给出多项式次数的定义，介绍零次多项式与零多项式．
2．多项式的整除性
介绍多项式整除的概念，重点讲解带余除法定理，它是多项式理论的核心内容．
3．最大公因式
介绍最大公因式的概念、性质和辗转相除法，另外介绍多项式互素的概念、性质和判断互素的充分必要条件．
4．多项式的分解
介绍多项式因式分解的思想，重点强调一个多项式能分解到什么程度与它的系数所在的数域有着密切的关系．
5．重因式
介绍多项式重因式及多项式导数的概念，给出利用多项式导数判定多项式有无重因式的充分必要条件．
6．多项式函数 多项式的根
介绍从函数的观点看待多项式的思想，给出多项式根的定义和性质．
7．复数域和实数域上的多项式
介绍代数学基本定理（不给出证明）及其推论，指出复系数多项式只有一次因式是不可约的，而实系数多项式只有一次的和某些二次的是不可约的．
8．有理系数多项式
指出有理系数多项式在有理数域的可约性问题可以转化为整系数多项式在整数环上可约性．给出判定整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因方法及有理系数多项式有理根的求法．
9．多元多项式
介绍多元多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法．
10．对称多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法．
介绍对称多项式的概念，给出任一个对称多项式都可表成初等对称多项式的方法．
三 行列式（14学时）
[教学要点]
线性方程组、排列、n阶行列式、子式和代数余子式、Cramer规则．
[教学内容]
1．线性方程组与行列式
介绍2×2线性方程组与二阶行列式的关系，3×3线性方程组与三阶行列式的关系，由此提出一个问题，n×n线性方程组与n阶行列式是什么关系．
2．排列
介绍排列概念及基本性质，其中包括偶排列、奇排列、反序数．讲授一个主要结论：n元排列中奇排列、偶排列各占一半．
3． n阶行列式
介绍n阶行列式的定义、性质．指出按定义计算一个n阶行列式是很困难的，要计算出一个n阶行列式必须掌握它的7个性质．
4．子式和代数余子式 ）
介绍子式和代数余子式的定义，使学生掌握另一种计算n阶行列式的方法，即按行按列展开的计算方法，举出一些利用性质和代数余子式计算n阶行列式的有效方法．
5． Cramer规则
介绍Cramer规则，它是本章的基本结论，前面的几节内容都是为得到这一结果服务的，所以Cramer规则十分重要，它是解n×n线性方程组的一个有力工具．
四 线性方程组（14学时）
[教学要点]
线性方程组的消元解法、矩阵的秩、有解的判别定理、线性方程组的公式解法、二元方程组的结式和判别式．
[教学内容]
1． 线性方程组的消元解法
主要介绍矩阵、矩阵的初等变换、线性方程组的高斯消元法、线性方程组的同解变形、线性方程组的加减消元法与它的增广矩阵行初等变换的一致性．
2． 矩阵的秩、线性方程组有解的判定定理
主要介绍矩阵的秩、初等变换不改变矩阵的秩、线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等．
3． 线性方程组的公式解
主要介绍如何用Cramer规则解一般的线性方程组，齐次线性方程组解的性质．
4． 结式和判别式
介绍线性方程组理论和行列式方法在解二元二次方程组时的应用，给出结式和判别式的概念．
五 矩 阵（14学时）
[教学要点]
矩阵的运算、矩阵的行列式、矩阵的逆矩阵、矩阵的分块理论．
[教学内容]
1． 矩阵的运算
主要介绍矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵的乘法．
2． 可逆矩阵、矩阵乘积的行列式
主要介绍n阶矩阵的逆矩阵的概念和性质，矩阵乘积的行列式与各自行列式的关系、n阶方阵可逆时逆矩阵的求法（有两种方法，伴随矩阵的方法与初等行变换的方法）．
3． 矩阵的分块
主要介绍矩阵的分块理论，也就是把矩阵中一部分元素看作一个块（或一个元素）来处理矩阵的有关问题．
三、参考教材
1、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》（第四版）．北京：高等教育出版社，2003．
2、北大数学系，《高等代数》（第二版）．北京：高等教育出版社，1991年．
3、王蕚芳等《高等代数》．北京：清华大学出版社，1997年
4、丘维声编著《高等代数》（上、下）．北京：高等教育出版社，1996
5、蓝以中编著《高等代数简明教程》（上、下）．北京：北京大学出版社，2002
数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲
普通物理 I教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）

一、说明
（一）课程性质
本课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的专业必修课程之一．
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握物质运动的基本规律，培养学生运用基本规律对一般问题进行理论分析和计算的能力．同时为数学与应用数学专业诸多数学课程（如解析几何、数学分析、常微分方程、概率论和泛函分析等）的学习和巩固提供一些重要实际背景知识．
（三）教学内容
质点运动学、牛顿运动定律、功与能、动量、刚体转动、气体分子运动论、热力学基础、静电场、静电场中的导体和点介质、稳恒电流、磁介质、机械振动、机械波、电磁振荡、电磁波、波动光学简介、狭义相对论简介．
（四）教学时数及学分
72学时，其中理论54学时，实验18学时，学分：3分．
二、本文
一 质点运动学(8学时)
[教学要点]
抛体运动、圆周运动、切向加速度、法向加速度．
[教学内容]
参照系、质点、运动方程、直线运动的速度和加速度、曲线运动的速度和加速度、抛体运动、圆周运动、切向加速度、法向加速度、相对运动．
二 牛顿运动定律(8学时)
[教学要点]
牛顿运动定律及其应用、力学单位和量纲．
[教学内容]
牛顿运动定律、力学单位制和量纲、牛顿运动定律应用举例、惯性参照系、力学相对性原理．
三 功与能(12学时)
[教学要点]
动能原理、机械能转换和守恒定律、功能原理、能量转换和守恒定律．
[教学内容]
功、功率、动能、动能原理、势能、保守力和保守力场、机械能转换和守恒定律、功能原理、能量转换和守恒定律．
四 动量(8学时)
[教学要点]
动量原理、动量守恒定律．
[教学内容]
冲量、动量、动量原理、动量守恒定律、完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞．
五 刚体的转动(8学时)
[教学要点]
转动惯量、转动定律、角动量守恒定律．
[教学内容]
平动和转动、刚体的定轴转动、转动定律、转动惯量、力矩作功、刚体绕定轴转动的动能、角动量守恒定律、经典力学的适用范围简介．
七 气体分子运动论(8学时)
[教学要点]
理想气体的压力公式、气体分子的平均动能与温度的关系．
[教学内容]
分子运动论的基本概念、气体的状态参量、平衡态和平衡过程、理想气体的压力公式、气体分子的平均动能与温度的关系、气体分子速率分布规律、分子的平均碰撞次数和平均自由程．
八 热力学基础(8学时)
[教学要点]
内能、热力学 一定律、热力学 二定律．
[教学内容]
内能、热量、热力学 一定律、理想气体的等容过程和等压过程、能量分布定律、理想气体的等温过程和绝热过程、循环过程、热力学 二定律、可逆过程和不可逆过程、卡诺循环．

九 静电场(12学时)
[教学要点]
电荷守恒定律、电场强度的计算、高斯定理及其应用、电势能．
[教学内容]
电荷的量子化、电荷守恒定律、点电荷、真空中的库仑定律、电场、电场强度、场强叠加原理、电力线、电场强度通量、高斯定理及其应用、电势能、电势差、电势叠加原理、等势面、场强与电势的关系．
三、参考教材
1、马文蔚、柯景凤，《物理学》．北京：高等教育出版社，1982．
2、刘可哲等《大学物理学》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
3、程守洙等《普通物理学》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
4、王高雄编《常微分方程》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

数学分析Ⅲ教学大纲（试行草案）
（ 2006年8月试行）

一、说明
（一）课程性质
《数学分析（Ⅲ）》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．它是进行数学研究的理论基础，着重研究解决数学问题的基础方法及其理论．
（二））教学目的
使学生掌握数学分析的基本原理和思想，掌握方法处理的技巧，要熟练掌握极限和连续、微积分、级数等基本概念与理论；其次，要通过例子，初步掌握用分析的方法解决实际应用问题．
（三）教学内容
数学分析第三部分的内容包括多元函数的微分学、重积分、曲线积分、曲面积分与场论、含参变量的积分等．
（四）教学时数及学分
90学时，学分：5分．
二、本文
一 多元函数的极限和连续（16学时）
[教学要点]
平面点集、开集、闭集、开区域、闭区域，平面点集的完备性定理，多元函数的定义，重极限和累次极限，多元函数的连续，有界闭区域上的多元连续函数的性质．
[教学内容]
1平面点集与多元函数
Descartes乘积集，平面点集，内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、边界、连通集、开域、闭域、有界集，闭包，开集和闭集及其关系， Euclid空间，Euclid的距离．平面点列及其极限，Cauchy收敛定理，闭域套定理， Bolzano-Weierstrass聚点定理， Heine-Borel有限覆盖定理等．多元函数的定义、图像．
2 二元函数的极限
二元函数的重极限和累次极限及其关系，二元函数极限的运算性质．
3 二元函数的连续性
二元函数的连续性概念，间断点类型，二元连续函数的性质，复合函数的连续性．有界闭区域上的连续映射概念，有界闭区域上连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域．
二 多元函数的微分学（14学时）
[教学要点]
全微分、偏导数、全微分及其之间的关系、可微的几何意义，复合函数的链式法则，高阶偏导数和高阶全微分．Taylor 公式与极值．
[教学内容]
1 可微性
偏增量与全增量，可微性与全微分，偏导数，可微条件，全微分、连续，可偏导、可微之间的关系，全微分的几何意义与应用．
2 多元复合函数的求导法则
多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性．
3 方向导数与梯度
方向导数，梯度，方向导数与梯度的关系．
4 Taylor 公式与极值
高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等．中值定理与Taylor 公式与Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，如计算常数幂和偏导数的近似值．多元函数的极值与极值存在的条件，极值的计算．无条件极值在几何及不等式中的应用．
三 隐函数的存在定理（12学时）
[教学要点]
隐函数的存在定理，隐函数与隐函数组的求导法则．多元函数的微分在几何中的应用，条件极值与Lagrange乘数法．
[教学内容]
1 隐函数
隐函数的概念，隐函数的存在条件，一元及多元隐函数存在定理，隐函数的可微性，反函数的存在性与其导数．
2 隐函数组
隐函数组概念，由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算．Jacobi行列式，反函数与坐标变换．
3 几何应用
空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用．
4 条件极值与Lagrange乘数法
最小二乘法，Lagrange乘数法及条件极值的必要条件；函数的条件极值与最值的计算：条件极值在几何、不等式及其它实际问题中的应用．
四 重积分（18学时）
[教学要点]
重积分的概念，二重积分与三重积分算法；二重积分与三重积分的变量代换．重积分的应用．
[教学内容]
1 二重积分概念
矩形区域二重积分引入、定义，二重积分的几何意义，二重积分的可积条件，一般区域上的二重积分．二重积分的七条基本性质．
2 二重积分的计算
矩形区域上化二重积分为累次积分的计算方法；含参积分、对于一般区域上重积分的计算，要适当选取累次积分的次序．Jacobi行列式的几何意义和应用，二重积分变量代换公式及应用，选取适当的坐标变换计算重积分，选取极坐标计算二重积分的方法．含参积分的导数，含参变量的常义积分的计算．
3 三重积分
三重积分的概念，三重积分的可积性讨论，三重积分的计算．三重积分的换元法，柱坐标和球坐标之下的三重积分计算．
4 重积分的应用