《线性代数》作业参考答案.doc

《线性代数》作业参考答案
一、选择题
1．D 　 2．B　 　 3．A 4．D 5．B 6．C
7．B 8．B 9 ．A 10．C 11．D 12．B
二、填空题
1．相等
2．
3．n个线性无关的特征向量；
4．不变
5．t=-3
6．
7．
8．
9．且
10．2，-2
11．k=
12．
13. -9 ； 14. 3 ； 15.
16. 81； 17. ； 18. 2；
三、证明题
1．证：由题设A是三阶方阵，，
。
2．证：由，即：
即可逆，且。
3．证：由题设：
所以
即： 只有 证毕。
4．因，则因此是方程组(*)的线性无关解。设则两边左乘A得，
有于是可得线性无关。
5．显然是解；另一方面，设为任一

四、计算题
1．解：

=。
2．解：， A的代数余子式：

3．解：（1）令 ，则，由题设，既有
，这表示是A的属于特征值0的特征向量。取
由题设A的每行元素之和为3，则即的特征值为3的特征向量，又
，故线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量，
所以A能与对角矩阵相似。
（2）由（1） 令，可逆，且

4．解： （按第一列展开）
5．解：
求伴随矩阵 A的代数余子式：

6．解：计算A的特征多项式：

由题设=0有重根，故分两种情况：
（1）是重根，则含有因子，
得a=2,此时可得出，
所以属于的特征向量的重数3-1=2, 加之特征根的特征向量，
A有3个线性无关的特征向量，故此时A 能与对角矩阵相似。
（2）不是重根，则是完全平方项，由此得a=6,
此时 即对应的无关向量个数为3-2=1，
故此时，A不能与对角矩阵相似。
7．解：
8．解：，求A的伴随矩阵的元素。

9．（1）证：令 则
= 记既有 而P可逆
两边同时左乘有 即～。而相似矩阵有相同的特征值，
从而
可看出三阶方阵A有3个相异的特征值 所以A可与对角矩阵相似。
（2）
对角阵∧=
10．由已知得：，，，
可以看出三阶方阵A的三个特征值为：，
故A与对角矩阵相似，且。
11．解：令可求出可知最大线性无关组的向量个数为3，
因所以即为一个最大线性无关组。
正交化：取；

两量正交.
12．解： A的特征多项式为：

所以A的特征值为：
（1） 当时，与题设矛盾
（2） 当时
，特征值所含无关特征向量的个数为3-1=2 加上特征根
的特征向量，则A 可与对角阵相似，与题设矛盾。
（3） 当时， 则属于二重根的线性无关特征向量，个数为3-2=1
故此时A不能与对角矩阵相似，符合题意，即。
13
14计算题
系数矩阵为 且秩为3 ；
基础解系为
15、计算题
= =
==
16、计算题

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以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识
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