第21章 一元二次方程知识点.doc

一元二次方程知识点
知识点一 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程 ②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2 （判断时，需将方程化成一般形式。）
例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）； （2）； （3）

例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则
知识点三 一元二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四 建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；
（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，
鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，
若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场
（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）

知识点五 解一元二次方程
一 直接开平方法
若方程可化为，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；
（3）的解是。
例 用直接开平方法解下列一元二次方程
（1）； （2）； （3）

二 因式分解法
（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）多项式因式分解的常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

（2）提公因式法
把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：，将原方程变形为，由此可得出
注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
例 用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。

（3）十字相乘法 形如“”的方程的解法。
对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。

例 解下列方程：（1）； （2） （3）

三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）； （2）

四 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
例 用公式法解下列方程
（1）； （2）； （3）

五．配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程：
（1）； （2）

(1)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
步骤：a.在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；
b.把原方程变为的形式。
c.若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：
(2)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为时，
步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次项的系数；
(2) 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；
（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例 用配方法解下列方程：
（1）； （2）

知识点六．选择适合的方法解一元二次方程
a.直接开平方法---左边是含有未知数的平方式，右边是一个非负数或一个含未知数的平方式的方程
b.因式分解---要求方程右边必须是0，左边能分解因式；
c.公式法---是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
因此一般为 开平方法→因式分解法→公式法．
例 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）

知识点七 一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．
⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
知识点八．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式 △=，可以判定一元二次方程的根的情况：
a.△=﹥0方程有两个不相等的实数根；
b .△==0方程有两个相等的实数根；
c.△=﹤0方程没有实数根；
步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；
②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。
例1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）；（2）；（3）

例2 为何值时，方程的根满足下列情况：
（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；

知识点九 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若是一元二次方程的两个根，则有，
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1） （2）
（3）； （4）││==
例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。
（1）； （2）。

例 解方程： x2＋2x－3=0 x2 －6x+8=0

知识点十 一元二次方程的应用
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1） 审题，找出题中的等量关系（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。
二、解与增长率（或降低率）有关的问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。
例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为
三、解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题：营销问题、水电问题、水利问题。常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量
例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。
（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。
（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。