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固定收益证券─债券投资组合分析
一、           前言
延续上一期之<单一债券分析>单元，本文将为各位介绍债券投资组合之管理策略。就单一债券而言，其可视为由各种不同天期之零息债券(Pure Discount Bonds)所组成之投资组合，相同的道理，我们也可以将手中所持有之各种不同天期之付息债券(Coupon Bonds)视为一大型且具有不规则现金流量之单一债券。如此我们便可以计算出债券投资组合的一些风险指针以便于债券投资组合之风险管理。此外，我们也可以针对殖利率曲线的预期走势而使用一些交易策略在风险有限的情况下来提高投资组合的报酬率。

二、           债券组合之评价
基本上，债券组合的评价与单一债券相似。债券投组的价值即为组合内所有单一债券价值之总和。假设一债券组合包含了m个债券，则债券组合之价值Vp可由下列公式计算出：

当我们计算出债券组合之价值后，我们所关心的是整个投资组合的报酬率，即殖利率。若将债券组合之所有现金流量拆解出来，则债券组合之殖利率为组合中所有现金流量之隐含报酬率(Internal Rate of Return)。计算公式如下：

三、           债券组合之风险指针
当我们计算出债券投资组合之殖利率时，我们可以将此一投资组合视为一大型之单一债券，进而求算出在管理债券投资组合时管理者所应知道的一些风险指标，如PVBP、Duration及Convexity等。

1、   债券投组之存续期间(Duration)：
存续期间(Duration)为衡量债券价格对利率变动的弹性，因此我们可以进一步的定义出债券投组的存续期间为Dp (Macauley Duration)︰

我们可以再将上式改写为︰

若再根据Dollar Duration = Macauley Duration * P / (1+yp) 的定义，则我们可得知投资组合之Dollar Duration 为组合中各单一债的Dollar Duration之加权平均值。

2、   债券投组之每百分点价值(PVBP)：
根据定义PVBP = Dollar Duration * 0.01%，即殖利率每变动一个Basis Point时，债券价格所产生的可能损益。故我们可以轻易的得出下列的公式︰

3、   债券组合之凸性( Convexity )︰
Convexity的观念来自于殖利率对价格的关系并非线性(请参阅上期之介绍)，而是一凸向原点之曲线，故在数学的表示上为债券价格对利率的二次微分，经由与上述相似的推导过程，我们可以得出债券组合之凸性公式如下︰

虽然我们可以经由上述的公式去计算出债券组合的一些风险指针，但债券组合的管理者再实际操作实仍需注意这些风险指标的一些盲点。例如若现在投组中有三个债券分别为五年期、十年期与二十年期，投资组合的Duration为7年。根据Duration的定义，若殖利率变动1%则投资组合的价值会有7%的变动幅度，但是值得注意的是这里所指的殖利率变动并非任一债券的殖利率变动，而是指组合中所有债券的殖利率均变动1%，亦即殖利率曲线的平行移动(Parallel Shift)。但是由于殖利率的平行移动并不是市场上常见的现象，故会造成两个具有相同Duration的债券投资组合因为殖利率曲线的不平行移动而产生不同的损益结果。

四、           殖利率曲线之移动
由于债券投资组合之投资策略通常牵涉到对殖利率曲线移动方式的预测，故在此将先介绍几种常见的移动方式。一般而言可区分为下列三种型态︰

1、平行移动(Parallel Shift)︰所有不同天期之债券均做同像并且等量的变动，如下图。

Upward parallel shift Downward parallel shift

短期

中期

0
中期

短期

短期

长期

中期

长期
中期

2、扭转移动(Twist Shift)︰短天期与长天期债券作相反方向的移动，意即殖利率曲线的斜率变陡斜(Steepening)或平缓(Flattening)，如下图。

Steepening twist Flattening twist
长期

长期

0
短期

3、蝶式移动(Butterfly Shift)︰殖利率曲线作凸向上或凹向下的移动。如下图。

中期

Positive butterfly Negative butterfly
中期
长期

长期
短期

0
短期

五、           债券组合之交易策略
一般而言投资组合的管理过程可大致区分为下列五个步骤︰

1、设定投资目标︰不同的投资机构(Financial Institution)会因为不同的营运目标与风险承受程度而设定不同的投资目标。
2、建立投资方针︰在投资目标决定后，管理者应订定资金配置的方针去决定如何将资金投入在适当的市场与资产。
3、选取投资组合之策略︰ 一般而言，投资策略可区分为积极策略(Active Strategy)与被动式策略(Passive Strategy)。
4、   选取投资标的
5、   衡量与评估投资组合之表现(Performance Evaluation)

典型的被动式投资策略(Passive Strategy)为选定某一债券指数(Bond Index)或是Benchmark，而其投资的目标为追求与债券指数或Benchmark相同的报酬率，而积极式投资策略(Active Strategy)为经理人针对可能影响市场变动的因素去选择其投资标的，以债券市场而言，这些因素包括了未来的利率走势、未来的利率波动程度与不同期殖利率之价差。在这一小节将为各位介绍一些债券投资组合之积极式投资策略。

一、               殖利率价差交易(Yield Spread Trade)︰
由于利率商品的时间结构，使得长、中、短天期的利率商品间会有一殖利率差(Yield Spread)。所谓的殖利率价差交易即因为市场上不同期间的债券之Yield Spread已经偏离了历史的正常水平，此时投资组合的管理者合理的预期此偏离将会回复至正常水平，则可借着买卖不同天期之债券来套取利润。两个债券间的买卖比例可由下列公式计算出︰

下面将以美国2年与30年指标债券为例来说明Yield Spread Trade的操作过程︰
图一︰

表一︰

2 years T-Note
30 years T-Bond
Yield spread
6/23/1998
99-31 / 5.52
106-28 / 5.64
12bp
7/17/1998
100-01 / 5.48
105-10+ / 5.75
27bp
表二︰
债券名称
到期日
Coupon
发行日期
Buy/Sell
Dollar Duration
Yield
2 yrs T-Note
5/31/00
5.50%
5/31/98
8.2821
181.39
5.52%
30 yrs T-Bond
11/15/27
6.125%
11/15/97
-1
1502.28
5.64%

由上面的图一可以得知2年与30年期债券之间的殖利率差自5、6月以来一直有逐渐下滑的趋势，于6月23日下降至一年来的低点14bp，若我们在6月23日以买进2年期的T-Note及卖出30年期的T-Bond来操作此一策略，根据表二，我们可以轻易的算出Hedge Ratio为8.2821(=1502.28/181.39)，若以100万美金的面额为一单位亦即必须买进8.2821单位的2年期的T-Note及卖出1单位的30年期的T-Bond。若于7月17日当殖利率价差扩大至28bp时将部位结平，则约可获利约2.2万元美金。

由图一我们可以观察出在过去的一年间有很多时点可以进行殖利率价差交易，但在进行此策略时应注意下列几点︰
1. 1.  Hedge Ratio的计算是基于殖利率平行移动的假设。以上述的例子为例，故若殖利率平行移动价差维持不变时，价差交易便不会产生损益，若价差扩大时整个部位会产生获利，反之，若价差减少时则部位会有损失。
2. 2.  Duration会随着时间而减少，故若此价差交易执行时间过长时，则必须将Hedge Ratio作动态调整。
3. 3.  殖利率曲线的价差该保持何种水平并无一定的标准，而价差的大小与当时长短期资金的紧俏或宽松有着密切的关系，故在操作此策略时经验上的判断是非常重要的。

二、 蝶式操作策略(Butterfly Trade)︰
若市场上观察到的殖利率曲线出现短期利率水平高于长期利率水平的现象，则可以执行蝶式操作策略(Butterfly Trade)来套取利益。Butterfly trade指的是当中期债券之殖利率高于长短期债券之殖利率时，则卖出长短期债券并买进中期债券的操作策略。反之若中期债券之殖利率低于长短期债券之殖利率时，则可买进长短期债券并卖出中期债券，此反向的操作策略称之为杠铃式交易(Barbell Trade)。
下图之虚线为7月8日时美国各期指针债券之殖利率曲线，由图中观察出3年期债券之殖利率高于2年期与10年期债券，此时便可以卖出2年期与10年期债券并买进3年期公债来进行蝶式交易。蝶式交易可以视为由两个操作方向相反之Spread trade组合而成，故在Hedge ratio的计算上可以比照上面的实例计算。

表一︰
债券名称
到期日
Coupon
发行日期
Buy/Sell
Dollar
Duration
Yield
2 yrs
5/31/00
5.5%
5/31/98
-1.47
5/31/98
5.40%
3 yrs
5/15/01
5.625%
5/15/98
2
5/15/98
5.50%
10 yrs
5/15/08
5.625%
5/15/98
-0.34
5/15/98
5.40%

表二︰

2 years T-Note
3 years T-Note
10 years T-Bond
7/8/1998
100.75 / 5.40
100.16 / 5.50
102.53 / 5.40
7/31/1998
100-91 / 5.50
101.71 / 5.42
102.12 / 5.50

若以100万的面额为一单位，在7月8日时买进2单位之3年期公债并且同时卖出1.47单位的2年期与0.34单位的10年期公债(请参考附表一)，则至7月31日以附表二之价格与殖利率结平部位时，可获利约一万元。

六、           结语
在本文中仅介绍两种基本之组合式债券交易策略，其实交易策略包罗万象，例如上面的两个例子都可再与RP或RS交易相结合而成为零投资的交易策略，或者是我们若要在零投资(Zero investment)的情况去增加投资组合的 Convexity，则可以运用线性规划求解的方式在特定的限制式下去找出必须Swap in与Swap out的债券，若将现货与利率期货相结合更可以衍生出所谓的基差交易(Basis trade)。而在操作上，债券投组的一些风险指针有其参考价值但也必须了解隐含再其背后的一些假设。债券现货市场的部分将为各位介绍到此，有兴趣的读者欢迎来函互相讨论，下期将开始为各位介绍利率衍生性商品及相关之评价理论。