几何定理及应用.doc

托勒密定理
1定理内容
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2 证明方法

　1　在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
　　则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB 又∠BAC=∠EAD,
　　所以△ABC∽△AED.
　　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
　　(1)+(2),得
　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
　　又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
2 已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

例1 凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝
∠BCD＝90°,
AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.
则sin∠AOB＝____.
分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D
四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.
解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.
设AD＝x,有AP＝x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC＝BP＝4－.
由托勒密定理有
BD·CA＝(4－)(2－2)＋2×1＝10－12.
又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝.
故sin∠AOB＝.

例8 如图8,△ABC与△A＇B＇
C＇的三边分别为a、b、c与a＇、
b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A
＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇.
分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇
＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.
证明：作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.
∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,
∠BCD＝∠B＝∠B＇,
∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD.
∴△A＇B＇C＇∽△DCB.
有＝＝,
即 ＝＝.
故DC＝,DB＝.
又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a.
从而,由托勒密定理,得
AD·BC＝AB·DC＋AC·BD,
即 a2＝c·＋b·.
故aa＇＝bb＇＋cc＇.

西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明
　证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
　　易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
　　② 而∠ACP+∠PCE=180°
　　③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C四点共圆。

　　证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有
　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
　　故A、B、P、C四点共圆。
　　若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.

圆幂定理
基本定义 　　圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。圆幂=PO^2-R^2。
　2 相关定理
　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，

即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
中线定理
中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。　
任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或AB^2+AC^2=2（1/2BC）^2+2AI^2
通过两式相减，还可以得到|AB^2-AC^2|=2BC×IH。 （H为垂足）
正弦定理
正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系

　　　　在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。
3 定理变形
　　a:b:c=sinA:sinB:sinC
　　s=a+b+sinc
　　=1/2a x b x sinC=1/2a x c x sinB=1/2b x c x sinA
塞瓦定理
设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点。若AP，BQ，CR相交于一点M，则
。
证 如图，由三角形面积的性质，有
, , .
以上三式相乘，得.
定理变形
设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点。若，则AP，BQ，CR交于一点。
证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于R’。
由定理1有. 而，所以
.
于是R’与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。
例1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。
证 如图，连接BD交AC于H，
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。
对△BCD用塞瓦定理，可得
①
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知。
代入①式得
②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。
代入②式得
.
从而CI=CJ。又由于
∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC.

梅涅劳斯 定理
一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R，则

证 如图，由三角形面积的性质，有
, , .
将以上三式相乘，得.

定理变形
设P，Q，R分别是△ABC的三边BC，CA，AB或它们延长线上的3点。若
，
则P，Q，R三点共线。
例1 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.
证 如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。
在△ECD与△FAB中分别使用
梅涅劳斯定理，得
， .
因为AB∥CD，所以
， .
从而，即，故CI=AJ. 而
，
且BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以BM=DL。