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二次曲线方程的化简

一、平面坐标变换
1. 移轴和转轴：
如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x¢, y¢)，则移轴公式为

或

式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标.   转轴公式为

或

式中a为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.
2. 一般坐标变换公式为

或

3. 设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线
l1：A1x＋B1y＋C1＝0,
l2：A2x＋B2y＋C2＝0,
其中 A1A2＋B1B2＝0，如果取 l1 为新坐标系中的横轴O¢x¢，而直线l2为纵轴O¢y¢，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x¢，y¢), 则有

其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.
二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响
1．在移轴 下，二次曲线F(x, y)ºa11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为

即新方程为

这里

因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：
（1）二次项系数不变；
（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；
（3）常数项变为F(x0, y0).
从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.
2． 在转轴下，二次曲线
F(x, y)ºa11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
的方程变为

即新方程为

这里

因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：
（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.
（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.
（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12¹0时，选取旋转角 a，使
,
则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.
三、二次曲线的方程化简
1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.
例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18 ＝0；
（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；
（3）5x2＋12xy－22x－12y－19 ＝0；
（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y ＝0.
解：（1）因为 I2＝＝6¹0，所以曲线为中心曲线，由

解得中心为(2, 1)，作移轴变换

代入曲线原方程，整理得
5x¢2＋4x¢y¢＋2y¢2－12 ＝0.
由ctg2a＝，
即    ,
得    tga ＝－2，tga ＝.
不妨取tga ＝，则由图5-1可得
sina ＝，cosa ＝,
作转轴变换

代入上述化简方程得
6 x² 2＋y²－12＝0.
即                    .（ 如图5-2）.
（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由
ctg2a＝＝0,
得  a＝.
作转轴变换

代入原方程，整理得
＝ 0,
配方得
＝0.
作移轴变换                
得到            x² 2＋y²＝0, 即 x² 2＝－y². （如图5-3）.
（3）因为I2＝＝－36¹0，所以曲线是中心曲线，
由                           ,
得中心 (1, 1)，作移轴变换

代入原方程，整理得
5x¢ 2＋12x¢y¢－36＝0.
由ctg2a ＝,    即    ,
解得tg a＝－，tg a＝.
不妨取tg a＝，则由图5-４可得
sina ＝，cosa ＝,
作转轴变换

代入上述方程整理得
9 x² 2－4y² 2＝36,
即   .（如图5 – 5）.
（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由
ctg2a＝＝0,
得 a＝，作转轴变换

代入原方程，整理得
＝0,   配方：. 作移轴变换就有                            x² 2＝, （如图5- 6）.
2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.
如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得
，
所以
.
因此 通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.
例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.
（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；
（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；
（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3 ＝0；
（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y ＝0.
解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36¹0，故曲线为中心曲线，特征方程为
l 2－13l＋36＝0,
解之得 l1＝4，l2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为
X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.
由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由l1，l2确定的主直径分别为
x－2y＋5＝0, (x¢)
2x＋y＝0, (y¢)
得坐标变换公式为

从而有正变换公式

（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）
代入原方程并整理得
9 x¢ 2＋4y¢ 2－36＝0,
即         .
同时  cosa＝，sina＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tga＝，从而可确定a并作出图形，如图5-8.
（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ¹0，故曲线为中心曲线，特征方程为  l 2＋l－6＝0.
解之得 l1＝2，l2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为
X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,
由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由l1，l2确定的主直径分别为
2x－y＋4＝0,  (x¢)
x＋2y－3＝0,  (y¢)
得坐标变换公式为

从而有正变换公式

代入原方程并整理得
－3 x¢ 2＋2y¢ 2－1＝0.
即   －.
同时sina＝，cosa＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，
如图5—10.
（3）因为I1＝4＋1＝5,  I2＝＝0, ,故曲线为无心曲线，特征方程为
l 2－5l＝0,
解之得 l1＝5，l2＝0，由l1确定的非渐近主方向
X1 : Y1＝－2: 1，
由l2确定的渐近主方向为
X2 : Y2＝1: 2,
由于  F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由l1确定的唯一主直径为
2x－y＋2＝0,
将它取为O ¢x¢轴，由

解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为
x＋2y＋＝0,
将它取为轴O ¢y¢，得坐标变换公式为
，
从而有正变换公式

代入原方程并整理得
5y¢ 2 －x¢ ＝0.
即     y¢ 2 ＝ x¢.
同时sina＝，cosa＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.
（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为
l 2－5l＝ 0,
解之得 l1＝5，l2＝0，由l1确定的非渐近主方向
X1 : Y1＝－2: 1，
由l2确定的渐近主方向为
X2 : Y2＝1: 2,
由于 F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由l1确定的唯一主直径为
2x－y＋1＝0,
将它取为O ¢x¢轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O ¢y¢轴，得坐标变换公式为

从而有正变换公式

代入原方程并整理得
5y¢ 2 －1＝0,
即          y¢ 2 ＝.
同时  sina＝，cosa＝，
(x0, y0)＝,如图5-14.

四、二次曲线的分类
1. 不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.

2. 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：
(I)    中性心线：     a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22¹ 0；
(II)   无心曲线：      a22y2＋2a13 x＝0，a22a13¹ 0；
(III)  线心曲线：        a22y2＋a33＝0，a22¹ 0.

3. 二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：

(I) 中性心线：
[1] ＝ 1 (椭圆)；
[2] ＝－1 (虚椭圆)；
[3] ＝ 1 (双曲线)；
[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；
[5] ＝ 0 (两相交直线)；
(II) 无心曲线：
[6]  y2＝2px (抛物线)；
(III) 线心曲线：
[7]  y2＝ a2 (两平行直线)；
[8]  y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；
[9]  y2＝ 0 (两重合直线).
例3. 试证中心二次曲线
ax2＋2hxy＋ay2＝d
的两条主直径为
x2－y2＝0，
曲线的两半轴的长分别是
及.
证明：因为曲线为中心曲线，所以
I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ¹ 0,  a ¹ ± h,
特征方程为
l 2－2al＋(a2－h2)＝ 0,
解之得 l1＝a＋h，l2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为
X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,
由于 F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由l1，l2确定的主直径分别为
x＋y＝0, (y¢)    x－y＝0, (x¢)
即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O ¢y¢轴与O ¢x¢轴，得坐标变换公式为

从而求得正变换公式

代入曲线原方程整理得（依题意d ¹0）
,
即
.
所以两半轴长分别为和.
例4. 已知¹0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线
                 (a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1
的标准方程与所用的坐标变换公式.
解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线
a1x＋b1y＋c1＝0 与 a2x＋b2y＋c2＝0
互相垂直，分别取为O ¢y¢轴与O ¢x¢轴，得坐标变换公式为
     [其中ai, bi (i=1,2)不全为0]
式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得
.
由 a1 a2＋b1 b2＝0 知
l ¹ 0
则 a1＝l b2，b1＝－l a2，从而
,
注意到 a2，b2不全为0， ¹ 0, 代入得
＝1,
或令  l¢ =¹ 0，有
＝1.
作业题：
1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式
.
2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
(1)  2xy－4x－2y＋3＝0；
(2)  5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；
(3)  x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;
(4)  x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;
(5)  x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；
(6)  x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；
(7)  x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；
(8)  x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.