拉格朗日龙格现象.doc

实 验 报 告
一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象
二．实验目的：
理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。
三．实验内容：
在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数 进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。
四． 实验基础知识及原理：
1）拉格朗日插值函数定义:
对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
[3]
拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。
2）龙格现象：
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。但是在有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。
3）matlab:
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。该实验中可利用matlab的绘图功能将拉格朗日函数跟原函数显示出来，通过对比得出实验结论。

五. 具体实验过程
1. 用matlab的editor将老师提供的拉格朗日插值的调用函数编辑为一个m文件lagrange.m

2.在脚本窗口中输入以下命令:

执行上面的命令可以得到输出的曲线如下：

在以下图中可以看到相应变量的数据值：

六．实验结论：
通过龙格现象可知，并不是插值多项式的次数越高（即插值节点越多）精度就越高，在这个实验中插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真，因此，实际应用时，我们一般只用一次、二次最多是三次插值多项式，若想提高插值精度，我们可以采用分段插值。

七. 实验心得: