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巧用算术平方根的非负性求值

数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。
例1 已知：（1－2a）2+=0，求（ab）b的值。
分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。
解：∵（1－2a）2≥0，≥0且（1－2a）2+=0
∴1－2a=0，b－2=0
∴a=，b=2
∴（ab）b=（×2）2=1
点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零
例2 已知与互为相反数，求a2+b2的值。
分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题
解：∵与互为相反数
∴+=0
又≥0，≥0
∴a－b+3=0且a+b－5=0，解方程即可求得：a=1，b=4
∴a2+b2=12+42=17
点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零
例3 若m＜0，n＜0，求+（）2的值
分析：运用公式=解题
解：∵m＜0 ∴=－m；
∵n＜0，∴（）2=－n
∴+（）2=－m+（－n）=－m－n
点评：=中，注意a的取值范围。
例4 △ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b满足+b2－4b+4=0，求c的取值范围。
分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。
解：由+b2－4b+4=0，可得+（b－2）2=0
∵≥0，（b－2）2≥0
∴=0，（b－2）2=0
∴a=1，b=2
由三角形三边关系定理有：b－a＜c＜b+a
即1＜c＜3
点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。
例5：已知实数，满足等式+（x－2y+2）4=0，求2x－y的平方根。
分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。
解：∵≥0，（x－2y+2）4≥0且+（x－2y+2）4=0
∴2x－3y－1=0，x－2y+2=0
解上二方程组成的方程组，得
∴2x－y=2×8－×5=13
∴2x－y的平方根为±
点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂 要考滤偶次方幂大于等于零。

算术平方根非负性之应用

由算术平方根的意义可知，算术平方根具有双重非负性：(1)被开方数是非负数；即a≥0(2)算术平方根是非负数,即≥0，算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．
一、利用中a≥0解题
例1、已知，则=__________
解：由算术平方根的性质(1)得：x2－4≥0, 4－x2≥0 ∴x2=4 ∵x－2≠0
∴x=－2 ∴y= ∴=
二、利用≥0解题
例2、如果，那么化简的结果是( )
(A)－4 (B)－2 (C)2x－4 (D)4－2x
解：由算术平方根的性质(2)及已知得：
x－3≥0, ∴x≥3 ∴x－1＞0 3－x≤0
∴原式=x－1+x－3=2x－4 ∴选C
例3、已知，则=________
解：由算术平方根的性质(2)及非负数的性质得：
即 ∴
∴=×0.25=0.25
三、同时利用≥0和a≥0解题
例4、若，则x的取值范围是( )
(A)x≥0 (B)x≤－2 (C)0≤x≤2 (D)－2≤x≤0
解：由算术平方根的性质(1)得x+2≥0 ∴x≥－2
由算术平方根的性质(2)得：≥0 且≥0
∴－x≥0 ∴x≤0 ∴－2≤x≤0 选D

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