二次根式的乘法与除法.doc

  二次根式的乘法与除法
一、学习要求
  会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。
二、例题分析
                             第一阶梯
[例1]填空

提示：
  1、有意义的条件是什么？
  2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？
  3、不等式组的解如何确定？
参考答案：
  （1）x≥5    （2）-2≤x≤3
说明：
  有意义的条件是a≥0，是在一定条件下才成立的，不能单单理解为只要ab≥0就有上
式成立。因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的与同时有意义，所以题目要求应
为a≥0，b≥0时等式成立。这样，我们知道题目的解法应为：

  同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。
[例2]选择题   
  成立的条件是（ ）
  （A）-1≤x＜2   （B）-1≤x≤2   （C）x≤1    （D）x＞2
提示：
  1、成立的条件是什么？
  2、如何用数学表达式表示上式成立的条件？
  3、不等式组的解法应该注意什么问题？如何确定不等式组的解集？
参考答案：A
说明：
  等式成立的条件应为左边与右边同时有意义，否则不能说成立，对于，它表示商的算术平方根的性质，
即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，并且被除式a≥0，除式b＞0，于是
式（a≥0， b＞0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。这样题目的解法应为：
另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分。
[例3]化简

提示：
  1、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质？
  2、当a≥0时，如何化简？
  3、被开方数是多项式时应该如何处理？
参考答案：

说明：
  当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质，把能开得尽方数移
到根号外面。当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的
性质及关系式（a≥0）化简。
  注意：被开方数含有因式x2+y2不是完全平方式，所以不能开平方。
  化简二次根式的步骤是：
  1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。
  2、应用积的算术平方根的性质把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平
方根的积。
  3、如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（a≥0），把这个因式（或因数）开出来，
从而将二次根式化简。
  4、化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）的指数都小于2。
                             第二阶梯
[例1]化简：

提示：
  1、被开方数是带分数时，如何使用二次根式的性质？
  2、被开方数的分子或分母是两个因式的乘积形式时怎么化简？
参考答案：

说明：
  被开方数是带分数，首先要把它化为假分数，再根据商的算术平方根的性质化简。被开方数的分子是乘
积的形式，可以变形为，再运用商与积的算术平方根的性质，把原式化简。形如（n≥0，
m＞0）的二次根式的化简的步骤是：
  1、利用商的算术平方根的性质，把式子。
  2、当被开方数的分子或分母是两个因式（或因数）之时，应利用积的算术平方根的性质，分别将
化简。
[例2]计算

提示：
  1、二次根式的乘法法则是什么？除法法则是什么？
  2、有理数乘法中的符号法则在实数范围内有什么不同吗？
  3、二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质有什么不同？
参考答案：

说明：
  把式子（a≥0，b≥0）反过来，得到：（a≥0，b≥0），这是二次根式的
乘法法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，这个法则成立
的条件是a≥0，b≥0，运用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。把式子（a≥0，b＞0）反
过来，得到：（a≥0，b＞0），这是二次根式的除法法则，运用这个法则可以进行二次根式的除
法运算。
  在进行二次根式的乘除法运算时，把两个二次根式中的根号外面的数与被开方数分别相乘（或相除）然
后取其积。这是因为在实数一章里，我们已经明确了，有理数的运算法则和运算律，在实数范围内也成立，
如乘法的交换律及结合律等。
  在运算中应注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。因此，第（1）小题的运算
结果应为负号。
  运用二次根式的乘法法则进行简单的二次根式的乘法运算步骤是：
  1、运用法则把因式的算术平方根的积化为因式的积的算术平方根。
  2、如果被开方数是平方式（或平方数），可运用式子（a≥0）把它移到根号外面，使二次根式
中的被开方数没有平方式（或平方数）。
  二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质（a≥0，b＞0）得到的，二次根式的除法法则
和商的算术平方根的性质所表示的式子是相反方向。
  第（3）小题还可以有以下两种解法：

[例3]计算

提示：
  1、二次根式乘法中的符号如何确定？
  2、运算结果被开方数有什么要求？
  3、乘、除的混合运算应按照什么规律进行？
  4、被开方数中的分母如何去掉？
参考答案：

说明：
  第（1）题在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
  第（2）题根据二次根式的乘法法则及乘法运算律，在运算中应注意，先把第二个被开方数分解因式，
运算结果中，被开方数不含能开得尽方的因数及完全平方式。
  第（3）题运用二次根式的乘法法则，按题中所给出的先后顺序进行计算，最后将所得到的二次根式化
简，使被开方数中不含分母，也不含开得尽方的因式或因数。在解法二中，只要把被开方数的分母变为平
方数，就可去掉分母的根号。
  第（4）题，此题由原式得到式子后，也可以将被开方数中的分子与分母分别乘以3b，直接化
去分母的根号。在进行二次根式的除法运算时分母有理化可以采取下面两种方法：1、把分子与分母都乘
以同一个代数式，化去分母的根。2、把被开方数中的分子与分母都乘以同一个因式（或因数），使被开
方数的分母变成平方式（或平方数），再化去分母的根号。
                         第三阶梯
[例1]化简

提示：
  1、题中的隐含条件是什么？
  2、被开方数应整理为什么形式可以达到化简的目的？
  3、如何化简|x-y|?
  4、式子成立的条件是什么？
参考答案：

说明：
  这道题是二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则可以判断出x-y≥0，被开方数是多项式时，应注意
把它们分解因式，运用积的算术平方根的性质（a≥0，b≥0）把因式的积的算术平方根化简，
在运算中注意使用（a≥0）把被开方数的因式（或因数）能开得尽方的移到根号外面。
[例2]计算

提示：
  1、可以写成哪两个二次根式的积？
  2、题目的分子、分母有什么特点？
  3、此题可以采用什么解法？
参考答案：

说明：

[例3]填空：

提示：

参考答案：2
说明：

三、检测题
1、

2、
3、
4、
5、
答案：
1、
2、a≤5
3、a≤0  b≤0
4、

5、