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插值型求积公式的比较
信科1304 魏佳铭
一、 问题引入
在计算过程中要求I(f)=abfxdx
根据Newton-Leibniz公式abfxdx=F(a)-F(b)可以计算得出
但是在实际计算中存在原函数表达式复杂，求解困难；f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表等问题，使问题无法求解。
二、方法引进
为得出数值积分的算法，我们对其做离散化处理来简化问题，方便计算。
若存在实数x1,x2…….xn;A1,A2…..An,且任取f(x)∈C[a,b]都有
abf(x)dx≈i=1nAif(xi)
为一个数值求积公式。Ai称为求积系数，xi称为求积节点，而称
R(f)=abf(x)dx-i=1nAif(xi)为求积余项
评价一个求积公式的优劣可以用求积余项说明，通常用与求积余项有关的所谓代数精度来评价求积余项。
三、插值型求积公式
插值型求积公式借助多项式插值函数来构造求积公式。常用的插值型求积公式有Newton-Cotes求积公式及Gauss求积公式。
1. Newton-Cotes求积公式
（1） n点的Newton-Cotes公式（等距节点求积公式）
为了使插值型求积系数Ai计算更简单，将求积节点xi取为[a,b]上的等距节点
xi=a+i-1h, h=b-an-1,i=1,2,…..n
令积分变量x=a+th作变换，当x∈[a,b]时，有t∈[0,n-1],于是有插值型求积公式的求积系数为
Ai=abk=1，k≠inx-xkxi-xkdx
记Ci(n)=1n-10n-1k=1，k≠int-k+1i-kdt
则有Ai=b-aCin,i=1,2,…..n，易证i=1nCi(n)=1
得abf(x)dx≈（b-a）i=1nCinf(xi)
（2） 2点的Newton-Cotes公式（梯形公式）
abf(x)dx≈b-a2(fa+f(b))
几何意义：用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线，从而用一个梯形 的面积来近似代替一个曲边梯形的面积。
梯形公式余项 R1f=-b-a312f2m m∈[a,b]
（3） 3点的Newton-Cotes公式（Simpson公式或抛物线公式）
abf(x)dx≈b-a6[fa+4fb+a2+fb]
几何意义：用通过A,B,C三点的抛物线代替y=f(x)所得曲边梯形的面积。
抛物线公式余项 R2f=-b-a52880f4m m∈[a,b]
评价：n点Newton-Cotes公式，其特征是节点是等距的，这种特点使得求积公式便于构造，求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n。
Newton-Cotes求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的。求积节点数n越大，对应的求积公式精度越高。但当n>8时，Cin有正有负，i=1nCin随n增大而增大，从而导致舍入误差增大。故n＞8时，Newton-Cotes公式是数值不稳定的。因而一般不用n＞8的Newton-Cotes公式来做定积分计算。
从关于稳定性的分析可知，数值计算中应用低阶的Newton-Cotes公式。
2. Gauss型求积公式
设x0，x1，……xn是n+1次正交多项式Pn+1（x）的n+1个零点，则插值型求积公式
abpxf(x)dx≈k=0nAkf(xk),Ak=abp(x)i=0，i≠knx-xixk-xidx
是Gauss型求积公式
（1）Gauss型求积公式的构造
[1]用待定系数法构造Gauss型求积公式
[2]利用正交多项式构造Gauss型求积公式：
1.以n+1次正交多项式的零点x0，x1，……xn作为积分点
2.用高斯点x0，x1，……xn对f(x)作Lagrange插值多项式f(x)≈i=0nli(x)f(xi)
代入积分式abpxf(x)dx≈abpx（i=0nli(x)f(xi)）dx=i=0n（abpxli(x)dx)f(xi)
因此，求积系数为
Ai=abpxli(x)dx （i=0，1……n）
（2）Gauss型求积公式的求积余项
由Gauss型求积公式的代数精度为2n-1及积分中值定理有Gauss求积余项为
R（f）=abpxf(x)dx-k=0nAkfxk=fm2n2n！abpxwn2(x)dx ，m∈[a,b]
（3）Gauss型求积公式的数值稳定性
用n+1个点x0，……xn构造的插值型求积公式
abfxf(x)dx≈k=0nAkf(xk)的代数精度不超过2n+1。
Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的，高斯求积公式的求积系数全是正的，且是稳定的算法。
（2）常用的Gauss型求积公式
[1]Gauss-Legendre求积公式
-11f(x)dx≈k=1nAkf(xk)
求积余项R(f)=22n+1n!42n+12n!3f2nm m∈（-1,1）
Gauss-Legendre的优点：计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。
Gauss-Legendre的缺点：需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。

[2]Gauss-Chebyshev求积公式
-11f(x)1-x2dx≈k=1nAkf(xk)
求积余项R(f)=2π22n(2n)!f2nm m∈（-1,1）
[3]Gauss-Laguerre求积公式
-11e-xf(x)dx≈k=1nAkf(xk)
求积余项R(f)=（n!）2(2n)!f2nm m∈（0，+∞）
[4]Gauss-Hermite求积公式
-∞+∞e-x2f(x)dx≈k=1nAkf(xk)
求积余项R(f)=n!π2n2n!f2n(m) m∈（-∞，+∞）
评价：高斯型求积公式是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定，且高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，具有代数精度高，且总是收敛、稳定的优点。但当求积点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。

四、例题比较
用不同方法计算I=01sinxxdx，并作比较
（1） 用Newton-Cotes公式
[1]运用梯形公式I≈1-02f0+f1=121+sin1≈0.92073549
[2]运用Simpson公式I≈1-06[f0+4f12+f(1)]=16(1+8sin12+sin1)≈0.94614588
（2） 用Gauss公式
令x=(t+1)2, I=01sin(t+1)2t+1dt
[1]用2个节点的Gauss公式
I≈sin12(-0.5773503+1)-0.5773503+1+sin12(0.5773503+1)0.5773503+1=0.9460411
[2]用3个节点的Gauss公式
I≈0.5555556×sin12(0.7745907+1)0.7745907+0.8888889×sin120+1+0.5555556×sin12(0.7745907+1)0.7745907=0.9460831
算法比较：对Newton-Cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有三位有效数字，而用Gauss公式用了3个函数值，得到了7位有效数字。
五、归纳总结
插值法是常见的求积分方法，解决了积分的计算问题，Newton-Cotes公式和Gauss型求积公式是两种不同的插值法。前者是等距节点下的求积公式，后者是非等距节点下的积分公式。Newton-Cotes公式是计算低阶积分的方法，而Gauss求积公式是计算高阶积分的方法。两种方法各有其优缺点。
n点Newton-Cotes公式，其特征是节点是等距的，这种特点使得求积公式便于构造，求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。
高斯型求积公式是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定，且高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，具有代数精度高，且总是收敛、稳定的优点。但当求积点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。
在实际问题中，我们应根据题目要求选取合理的求积公式，从而得到最接近的解。