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河高2014届高三数学试卷四
一．选择题：.本题每小题5分，满分50分.
1．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于(　　)
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞) C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．
2. 已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中(　　)
A．有两个元素 B．有一个元素 C．一个元素也没有 D．必含无数个元素
[答案]　A
[解析]　y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，∴直线与圆有两个交点，故选A.
3．y＝x2cos x的导数是(　　)
A．2xcos x＋x2sin x B．2xcos x－x2sin x C．2xcos x D．－x2sin x
【解析】　y′＝2xcos x－x2sin x.
【答案】　B
4．“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　m＝2时，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行时，m＝2，故必要性成立．所以“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件．
【答案】　A
5. 已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
[答案]　A
[解析]　由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.
6．具有性质f()＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
[答案]　B
[解析]　①f()＝－x＝－f(x)满足．②f()＝＋x＝f(x)不满足．
③0<x<1时，f()＝－x＝－f(x)，x＝1时，f()＝0＝－f(x)，x>1时，f()＝＝－f(x)满足．故选B.
7．右图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)

A. B．－ C. D．－或
【解析】　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)．∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．
由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1.故f(－1)＝－－1＋1＝－.
【答案】　B
8．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
【解析】　(数形结合法)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如下图．
若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.
【答案】　D
9．如下图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以F1，F2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e1，e2，则(　　)
A．e1＞e2 B．e1＜e2 C．e1＝e2 D．以上皆非
【解析】　(数形结合法)由题意|F1F2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF1|，|PF2|与|F1F2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e1，e2.2a＝|F2M|－|F1M|，
由图1，知e1＝＝＝＋1，由图2，知e2＝＝＝，
所以e1＞e2，故选A.
【答案】　A
10．如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠BDC的值等于(　　)

A．3 B．－3 C. D.
【解析】　由e＝知＝＝，＝.由图知tan∠DBC＝tan∠ABO＝＝，
tan∠DCB＝tan∠FCO＝＝.tan∠BDC＝－tan(∠DBC＋∠DCB)＝－＝－3.
【答案】　B
二．填空题：每题填对得5分，满分35分.
11．．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
[答案]　2
[解析]　∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，
∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.
12.若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则＋＋＋…＋＝________.
[答案]　2013
[解析]　令b＝1，则＝f(1)＝1，∴＋＋＋…＋＝2013.
13. 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(0)＝2，则f(2014)＝________.
[答案]　
14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
【解析】设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm，S＝4x2＋＋＝4x2＋.
S′＝8x－＝0，x＝3 cm.∴长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.
【答案】　6 cm　3 cm　4 cm
15．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
【解析】　依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.
【答案】　4
16．已知：直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解】设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴交点为Q点，l与x轴交点为M点．依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，所以e＝.
17. 点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线y2＝4x上，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，y1＋y2的值为 直线AB的斜率为 ．
【解】　设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y＝4x1，① y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．即y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
三、解答题：本题共有5小题，满分65分.
18．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)a＝1时，p：x2－4x＋3<0，即p：1<x<3，
q：即q：2<x≤3，由p∧q为真知，2<x<3.
(2)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－a)(x－3a)<0，若a<0，则3a<x<a，不合题意；
若a>0，则a<x<3a，由题意知，(2,3] (a,3a)，∴，∴1<a≤2.
19．(12分) 已知圆C的方程为x2＋y2＝4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；
(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
【解】　(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由＝2，
得k1＝0，k2＝－，从而所求的切线方程为：y＝2和4x＋3y－10＝0.
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
设圆心到此直线的距离为d(d＞0)，则2＝2，得d＝1，从而1＝，得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋5＝0，
综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，＝(0，y0)，
∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)⇒x＝x0，y＝2y0.∵x＋y＝4，∴x2＋2＝4，
即＋＝1.∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．
20．(13分)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每年投入x万元，可获得纯利润P＝－(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获纯利润Q＝－(60－x)2＋·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析]　在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)，
前5年的利润和为×5＝(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5＝－5(x－30)2＋4950.
当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为＋4950(万元)．
∵＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．
21．(14分) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)和圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.
(1)①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
②若椭圆上存在点P，使得∠APB＝90°，求椭圆离心率的取值范围；
(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：＋为定值．
【解】　(1)①因为圆O过椭圆的焦点，圆O：x2＋y2＝b2，所以b＝c，所以b2＝a2－c2＝c2，
所以a2＝2c2，所以e＝.
②由∠APB＝90°及圆的性质，可得|OP|＝b，所以|OP|2＝2b2≤a2，
所以a2≤2c2，所以e2≥，所以≤e<1.
(2)设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－，整理得x0x1＋y0y1＝x＋y.
因为x＋y＝b2，所以PA方程为：x1x＋y1y＝b2，同理PB方程为：x2x＋y2y＝b2.
PA、PB都过点P(x0，y0)，所以x1x0＋y1y0＝b2且x2x0＋y2y0＝b2，
故直线AB方程为x0x＋y0y＝b2.
令x＝0，得|ON|＝|y|＝，令y＝0，得|OM|＝|x|＝，
所以＋＝＝＝，所以＋为定值，定值是.
22．(14分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．
22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
(3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.
令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，
则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，
等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．
假设k>1，此时g(0)＝1>0，g＝－1＋<0，
又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.
又k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解．
所以k的最大值为1.
方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.
直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，
等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，即关于x的方程：
(k－1)x＝(*)在R上没有实数解．
①当k＝1时，方程(*)可化为＝0，在R上没有实数解．
②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.
令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.
令g′(x)＝0，得x＝－1，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

－

当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为[－，＋∞).
所以当∈时，方程(*)无实数解．
解得k的取值范围是(1－e，1)．
综上①②，得k的最大值为1.