一元二次方程的解法（1）-直接开平方法教学案例.doc

一元二次方程的解法（1）——《直接开平方法》
教材分析:
本节内容具有如下特点：
1．重视联系生活实际。教材注意通过学生生活中熟悉的事例，导入一元二次方程。
2．重视科学探究活动。本节教材通过“探究”栏目，为学生提供了探究活动的平台。
3．重视对学生能力的培养。“探究”通过让学生在观察中提出问题，进行猜想，设计实验方案，对数据进行分析论证，评估交流等活动，培养学生的观察能力、分析能力和科学探究的方法。
学情分析:
用直接开平方法解一元二次方程，学生并不难学，通过学生自主“探究”，不仅增强学生的求知欲望，更培养了学生勇于探索的精神和严谨的科学态度，变被动接受知识为主动获取知识，提高学习效率。
学习目标：
学会用直接开平方法解形如x2=p或（m x+ n）2=p（p≥0）的方程，理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想。
教学内容：
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。
教学方法：探究合作、讲练结合
重难点关键：
1．重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。
教学过程：
一、 复习引入：
问题1．思考平方根的意义并填空：
（1）若x2=a（a≥0），则x叫做a的 即x= 。
（2）一个正数的平方根有 个，它们分别互为 。 求一个数的平方根运算叫做 。
（3）如果x2=9，则x= 。根据平方根意义写出81、0、24、32的平方根。
问题2．（1）学过的乘法公式有什么？
； ;
（2）填空：①x2-8x+____=（x-____）2；②9x2+12x+___=（3x+____）2；
③x2+px+_____=（x+______）2．
问题3.目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、 探索新知：
1.求下列各式中的 x
①x2=25则x= ②x2-9=0则x= ③4x2-1=0则x= ④3x2=27则x=
归纳：解一元二次方程的实质是
例1.解下列方程：
①x2-16=0 ②x2-27=0 ③-x2+4=0 ④-3x2=0

归纳：把形如ax2+c=0(a＞0,c≤0)的方程转化为形如x2=p（p≥0）的方程，那么x= .
2.师提问：上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3.
即2t+1=3，2t+1=-3.
方程的两根为t1=1，t2=-2
例2.解下列方程：
①(x+1)2=9 ②3(x-1)2-9=0 ③(2x-1) 2=5 ④x 2-2x+4=-1 ⑤4x2-4x+1=3
归纳：解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程可以用直接开平方法求解。
即mx+n = ,则x= 。
例3．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
三、巩固练习
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
4．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
5．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
6．解下列方程
（1）x2-7=0　　　　（2）3x2-5=0 （3）4x2-4x+1=0　　　　（4）（2x-5）2-2=0；
（5）(x-2)2=49 （6）x2-2x+1=25. （7）

四、 应用拓展：
7．某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
五、归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解。
六、课后作业：
一、选择题：
1．若x2-6x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）。
A．p=9，q=3 B．p=9，q=-3 C．p=-9，q=3 D．p=-9，q=-3
2．方程4x2+16=0的根为（ ）。 A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）。
A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若3x2-9=0，则x的值是_________。
2．如果方程2（x-3）2=32，那么，这个一元二次方程的两根是________。
3．如果a、b为实数，满足+b2-8b+16=0，那么ab的值是_______。
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n。
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
4.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
选做题：
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

教学反思： 
这节课重点和难点都是“探究”。在教学活动中，教师尊重并相信学生的思维能力、集体智慧，把“探究”的主动权交给学生。在“探究决”中，教师注重培养学生“发现问题、提出问题与动手解决问题”的能力。教学过程中采用启发式教学，让学生通过分组讨论解问题。 
当然，这节课也存在不足之处。课堂中，还应充分挖掘多媒体资源，通过播放动画、视频、图片等，对学生进行感官刺激，加深学生对知识解的理。还有学生参与讨论的过程中个别学生参与程度不足，教师应关照这些边缘人员。
今后，我会更努力,多渠道向优秀老师学习，不断地提升自我、完善自我，使课堂教学更高效。