自动控制原理(拉氏变换)PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2-1动态微分方程式的编写,机械运动系统,例：弹簧-质量-阻尼系统,输入外力,输出位移,阻尼系数，与运动方向相反,1,2-2非线性数学模型的线性化,2-2 非线性数学模型的线性化,1.,概念,对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们称这一过程为非线性系统(数模)的线性化。,2,2.,数学描述,设系统的输入为x(t),输出为y（t），,且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。,设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点（x0,y0）,2-2非线性数学模型的线性化,3,2-2非线性数学模型的线性化,当|x-x,o,|很小时，忽略其二阶以上各项，得：,在该稳定工作点处将f(x)泰勒展开为：,即：,4,也即：,是 线性化模型,例：,将上例流体运动非线性方程线性化如：,可将非线性特性 在 处线性化,2-2非线性数学模型的线性化,5,即有：,去掉 即为线性化方程。,不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。,代入原方程得：,2-2非线性数学模型的线性化,6,自动控制系统的典型输入信号,3-1控制系统的暂态响应分析,一、典型输入信号,为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号,阶跃输入,定义如下,0 t,A,x,r,A=1时称为单位阶跃信号,对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。,7,3-1控制系统的暂态响应分析,斜坡（匀速）输入,A,0 t,x,r,(t),相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。,8,3-1控制系统的暂态响应分析,抛物线（匀加速）输入,x,r,(t),0 t,相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号，该恒加速度为A。,9,3-1控制系统的暂态响应分析,脉冲函数,当A=1，,时,称为单位脉冲函数,（t）,，其面积为1,（t）,t,0,1,正弦函数,用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。,10,拉普拉斯变换(Laplace变换),拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的基本性质,拉普拉斯逆变换,拉普拉斯变换的应用,11,在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。,12,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,设函数 当 有意义,而且积分,（是一个复参量）,称上式为函数 的拉普拉斯变换式,叫做,的拉氏变换,象函数.,叫做,的拉氏逆变换,象原函数,一、拉普拉斯变换的概念,=,13,二、一些常用函数的拉普拉斯变换,例2,求单位阶跃函数 的拉氏变换,解,例1,求单位脉冲函数 的拉氏变换,解,14,例3,求函数 的拉氏变换,解,例4,求单位斜坡函数 的拉氏变换,解,15,例5正弦函数,16,是周期为,当 在一个周期上连续或分段连续时,则有,周期函数的拉普拉斯变换,这是求周期函数拉氏变换公式,的周期函数,即,可以证明:若,17,（1）线性性质,三 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,（3）积分定理,（4）实位移定理,（5）复位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,（终值确实存在时）,18,自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所,19,应用拉氏变换的终值定理求,注意拉氏变换终值定理的适用条件：,事实上：,的极点均处在复平面的左半边。,不满足终值定理的条件。,19,四 拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,例1 已知,，求,解.,20,1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的,拉氏变换,21,自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所,22,典型信号的拉氏变换（2）,22,2.用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I.当 无重根时,23,例2 已知,，求,解.,例3 已知,，求,解.,24,II.当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),25,例5 已知,，求,解.,26,常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系,数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:,（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;,（2）从象函数的代数方程中解出象函数;,（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,27,例17,求微分方程,满足初始条件,的解,解,设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,28,用,L,变换方法解线性常微分方程,0 初条件,nm,:,特征根（极点）,:相对于 的,模态,29,课后作业,1.,已知系统的微分方程为,，式中，y(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量。r(t)=1(t)，y(0)=0，y(0)=0，求微分方程的解y(t).,2.求函数的拉氏变换X(s)，设t0时，x(0)=0,30,