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函数图象平移与伸缩的通解

对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处理手法过于繁杂，记忆量大，难于掌握.本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨.
一、函数图象的平移
事实上，设函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是,
令点是的图象上任一点，点向右平移个单位得点，则
点在的图象上，且，有，
于是，把函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是
（即以代换）.
我们定义：当时，表示向右平移；当时，表示向左平移.
例1 函数是偶函数，则函数的对称轴是
A， B， C， D，
分析：函数是偶函数，∴其对称轴为，
以代换，有，
令，解得，
故函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，其对称轴
也相应地向左平移了个单位，故选D.
例2 要得到函数的图象，只需要将函数的图象
A，向左平移个单位 B，向右平移个单位
C，向左平移个单位 D，向右平移个单位
解1：∵，
而在中，以代换，有.
令，解得.故选A.
解2：.
在中，以代换，有，
令，解得.故选A.
同样地，把函数的图象，向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象的解析式是（即以，分别代换，）.
同样，我们定义：当时，表示向上平移；当时，表示向下平移.
例3 函数的图象，经过怎样的平移变换得到函数的图象？
解：在中，以，分别代换，，有.
即，经对比，有，解得.
故把函数的图象，向左平移个单位，再向上平移3个单位，便得函数
的图象.
二、函数图象的伸缩与平移
事实上，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象的解析式是,
令点是的图象上任一点，点的横坐标伸长到原来的倍，得
点，则点在的图象上，且，有，
于是，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象的解析式是（即以代换）.
我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短.
例4 函数的图象，经过怎样的平移和伸缩变换得到函数的
图象？
解1：（先平移后伸缩）在中，以，分别代换，，
有，再以代换，有，即.
对比有，得.
即把函数的图象向左平移个单位，再向上平移4个单位，后将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数的图象.
解2：（先伸缩后平移）在中，以代换，有，
再以，分别代换，，得，即
于是，得，∴.
即把函数的图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，后向上平移4个单位，可得函数的图象.
把函数的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍，得到的图象的解析式是（即分别以，代换）.
我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短.
例5 已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.
（I）求的解析式及定义域；（II）求的最大值.
解：（I）依题意，在中，以（即）代换，得
，即，再以代换，得.
故得…….下略.
例6 函数的图象，经过怎样的变换得到函数的图象？
解1：（先伸缩后平移）在中，分别以，代换，有
，再以代换，得，
即，令，得.
故把函数的图象，横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），再将纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），后向右平移个单位，即得函数的图象.
说明：本题也可“先平移后伸缩”行变换，这个留给读者完成.

（柯正摘自《试题与研究》高考数学，2004/33）