协方差和相关系数矩和协方差矩阵.pptx

上页下页结束返回首页4.3 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数1.定义 若E E X X-E E(X X)Y Y-E E(Y Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为Cov（X，Y）即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)协方差协方差Cov(X,Y)=2.协方差的计算协方差的计算一一.协方差协方差离散型随机向量其中PX=xi,Y=yj=pij i,j=1,2,3,.连续型随机 向量 Cov(X,Y)上页下页结束返回首页 3.协方差计算公式协方差计算公式Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)（1）若 X与Y独立,则Cov(X,Y)=0注注（2）D(X Y)=D(X)+D(Y)2 Cov(X,Y)例例1.求Cov(X,Y)Y 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0X1/41/21/4 解：E(X)=2 ,E(Y)=2；Cov(X,Y)=23/6 4=1/6;E(XY)=上页下页结束返回首页求解 因为同理可得 例2设二维（X，Y）随机变量的密度函数为上页下页结束返回首页4.协方差的性质协方差的性质（4）当X与Y相互独立时，有 Cov(X,Y)=0（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)（2）Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y),a,b 为常数为常数 （3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)例2已知D(X)=2，D(Y)=4，COV(X,Y)=2，求 3X4Y+8 的方差。解：D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)-2COV(3X,4Y)=9D(X)+16D(Y)24COV(X,Y)=18+64+48=130若X，Y相互独立，D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)=82上页下页结束返回首页 由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差上页下页结束返回首页二二.相关系数（标准协方差）相关系数（标准协方差）1.定义 对于随机变量X和Y,若D（X)，D（Y)则称为随机变量X和Y的相关系数。（标准协方差）当XY=0时,称X与Y不相关。.性质（1）|XY|1；（2）|XY|=1当且仅当 PY=aX+b=1,其中a,b为常数。相关系数XY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。上页下页结束返回首页例例2.求XY解：E(X)=2 ,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2 D(Y)=1/2 。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6 4=-1/6;Y 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0X1/41/21/4上页下页结束返回首页例例.设随机变量X的方差D（X)且且 Y=aX+b(a),求求X和和Y的相关系数XY解：上页下页结束返回首页（1）|XY|1；于是，判别式=Cov(X,Y)2 D(X)D（Y）0证明：（1）考虑实变量t的二次函数因 q（t）0，D（X）0，即 方程 q（t）=0 或者没有实根或者有重根，故|XY|1（2）|XY|=1当且仅当 PY=aX+b=1,其中a,b为常数。2.XY的性质的性质上页下页结束返回首页(2)|XY|=1相当于Cov(X,Y)2=D(X)D(Y)，即相当于方程有二重根，记为t0，即E(XE(X)t0+(YE(Y)2=0结合EXE(X)t0+(YE(Y)=0，得到D(XE(X)t0+(YE(Y)=0由方差性质5知，上式成立的充要条件是 PXE(X)t0+YE(Y)=0=1，即 PY=aX+b=1其中a=-t0，b=t0E(X)+E(Y)为常数上页下页结束返回首页显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。证明：(1)因为同样 E（Y）=0于是 XY=0，所以 X与Y不相关。(2)例4已知（X，Y）的概率密度，试证X与Y既不相关，也不相互独立。上页下页结束返回首页解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x),fY(y)如下：从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立 =0，即X、Y相互独立与不相关是等价的。例5设（X，Y）服从二维正态分布，求X，Y的相关系数。上页下页结束返回首页1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以和分别表示出现正面和反面的次数，则和的相关系数为（）；（）；（）；(D)1。2.设随机变量和独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y,则和 （）不独立；（）独立；（）相关系数为；（D）相关系数不为。3.设是随机变量，=aX+b(a),证明：.设随机变量的概率密度为求与|X|的协方差，问和|X|是否不相关，是否相互独立练练 习习 题题上页下页结束返回首页1矩的概念矩的概念 显然数学期望E（X）是X的一阶原点矩，方差D（X）是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X、Y的二阶混合中心矩。设X、Y为随机变量，k,l为自然数，若 E（Xk）存在，则称它为X的k 阶原点矩阶原点矩。若EXE(X)k 存在，则称它为X的k 阶中心矩阶中心矩。若E（X kY l）存在，则称它为X与Y 的 k+l 阶混合原点矩阶混合原点矩。即(k,l=1，2，)若EXE(X)k Y-E(Y)L 存在，则称它为X与Y的k+L阶混合阶混合中心矩中心矩。4.4 矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵上页下页结束返回首页显然，协方差矩阵是对称阵。2协方差矩阵协方差矩阵(1).（X，Y）有四个二阶中心矩，分别记为C11=EX-E(X)2，C12=EX-E(X)Y-E(Y)，C21=EY-E(Y)X-E(X)，C22=EY-E(Y)2则称矩阵为（X，Y）的协方差矩阵协方差矩阵。(2).对于n维随机向量（X1，X2，Xn）的二阶中心矩i,j=1,2,，n则协方差矩阵为上页下页结束返回首页所以（X，Y）的协方差矩阵为，由对称性可知，例1已知（X，Y）的概率密度，试求（X，Y）协方差矩阵。解：上页下页结束返回首页结束作业：98页 14，15,18上页下页结束返回首页一、数学期望、方差，协方差、相关系数的定义及性质及概率意义二、数学期望、方差，协方差、相关系数的计算三、常见分布的期望、方差四、独立 不相关？