协方差相关系数和大数定律.pptx

3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系.数反映了随机变量反映了随机变量 X,Y 之间的某种关系之间的某种关系 为 X,Y 的协方差.协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义定义定义称无量纲 的量为X,Y 的 相关系数.若称 X,Y 不相关.称 若若(X,Y)为离散型，为离散型，若若(X,Y)为连续型，为连续型，协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q q 求 cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解解 1 0 p qX Y P 例例2 2 设 u U(0,2),X=cos u,Y=cos(u+),是给定的常数，求 XY 解若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系协方差的性质q q q q 协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质q 相关系数的性质q q 即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为如例1中 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1已求得 ,则必有其中q X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y 相互独立X,Y 不相关例例3 设 X,Y 相互独立,且 E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=2,U=aX+bY,V=aX-bY,a,b 为常数，且都不为零，求UV 解解由而故 a,b 取何值时,U与V 不相关？此时,U与V 是否独立？继续继续讨论讨论若 a=b，UV=0,则 U,V 不相关.X 的 k 阶(原点)矩 X 的 k 阶中心矩-X的二阶中心矩-X 的 方差X 的1 阶(原点)矩 X的期望矩和中心矩 3.4 随机变量的另几个数字特征随机变量的另几个数字特征设连续型随机变量X的分布函数为定义定义下 分位数的数 ，为此分布的下 分位数.F(x)，概率密度为f(x),则 称满足条件：x设连续型随机变量X的分布函数为定义定义上 分位数的数 ，为此分布的上 分位数.F(x)，概率密度为f(x),则 称满足条件：x 设 X 是只取非负值的随机变量，且有数学期望E(X)，则 有 3.5 切比雪夫不等式与大数定理切比雪夫不等式与大数定理马尔可夫（Markov）不等式 设随机变量X 具有数学期望 E(X)和方差 D(X)，则 有切比雪夫（Chebyshev）不等式或当 2 D(X)无实际意义,大数定律的思想：大数定律的思想：概率论中用来阐明大量随机 现象平均结果稳定性的一系 列定理统称为大数定律大数定律大数定律 定义：若存在常数a，使对于任何有 则称随机变量序列 依概率收敛于a。1.切比雪夫(Chebyshev)大数定律相互独立，设 r.v.序列则有或且：各有数学期望和方差当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.当n充分大时，独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替可被Chebyshev 大数定律的意义的意义2.贝努里（Bernoulli）大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则有或在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义 3.辛钦(Khinchin)大数定律相互独立，设 r.v.序列则有或具有相同分布，且1.独立同分布，不要求方差存在。2.贝努利大数定律是辛钦大数定 律 的特殊情况。辛钦大数定律的意义辛钦大数定律的意义3.对同一随机变量进行n 次独立观 察，所得结果的算术平均值依概 率收敛于随机变量的期望值。