导数在函数研究中的应用（教学案）.doc

导数的应用
重点知识
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
高考考点
高频考点一　不含参数的函数的单调性
例1、求函数f(x)＝的单调区间．

【变式探究】　函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1] B．(0,1]
C． D.(0,+)

高频考点二　含参数的函数的单调性
例2、已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

【变式探究】讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．

高频考点三　利用函数单调性求参数
例3、设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

【变式探究】若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围．

【变式探究】已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax (a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　)
A. B. C. D．1

高频考点六、函数极值和最值的综合问题
例6、已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．－13 B．－15
C．10 D．15
真题感悟
【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数．
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点,求的取值范围.

【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数．
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.

【2016高考山东文数】(本小题满分13分)
设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）
设函数，，其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.