经典初中数学题 (2).doc

专题4 几何证明
【知识要点】
1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；
2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；
3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。
【概念回顾】
1.全等三角形的性质：对应边（ ），对应角（ ）对应高线（ ），对应中线（ ），对应角的角平分线（ ）。
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB=（ ）。
【例题解析】
【题1】已知在ΔABC中，，AB＝AC，BD平分．求证：BC＝AB＋CD．

【题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ.

【题3】如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC.

【题4】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF.

【题5】已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
A
P
C
B
求：∠APB的度数．

【题6】如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
（1） 求证：AE=CD;
（2） 若AC=12㎝，求BD的长.

【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等.
求证：（1）∠AEF=∠AFE
(2)角B的度数

【题8】如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B，求证：AB=AC+CD.

【题9】如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.
求证：AF=FC

【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE的长.

【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN.

【题12】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.
求证：BE‖CF.

【巩固练习】
【练1】 如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF.
（1） 请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论。
（2） 链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件？

【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为E。
（1） 求证：PE=BO
（2） 设AC=3a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式。

【练3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD，BC的延长线叫MN与E、F
求证∠DEN=∠F.

【练4】如图，若C在直线OB上，试判断△CDM形状。

【练5】已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD

1、 【练6】如图，等边三角形ABC的边长为2，点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于点E，当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。

【提示】
【题1】分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．∴，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．
【题2】分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转即可．
∵．∴．
又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．
【题3】分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．
∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．
【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。
证明：∵BF=CE
又∵BF+CF=BC
CE+CF=EF
∴BC=EF
∵AB∥DE，AC∥FD
∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA
又∵BF=CE
∴△DEF≌△ABC（ASA）
∴AB=DE，AC=DF

【题5】顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500 。

【题6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°
∵∠D+∠BCD=90°
∠FEC+∠BCD=90°
∴∠D=∠FEC
又∵∠DBC=∠ACE=90°，AC=BC
∴△DBC≌△ACE（HL）
∴AE=CD
（2）由（1）可知 △BDC≌△ACE
∴BC=AC=12㎝，BD=CE
∵AE是BC边上的中线
∴BE=EC=BC=6㎝
∵BD=CE
∴BD=6㎝
【题7】解：
∵CB=CE,CD=CF
∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD
∵∠B=∠D(菱形的对角相等）
∴∠CEB=∠CFD
∵∠CEF=∠CFE=60°
∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∠CED+∠CFE+∠AFE=180°
∴∠AEF=∠AFE
(2)设∠B=X,则∠A=180°—X，∠CEB=X
∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180°
∴ (180°－X ) +2∠AEF=180°
∴∠AEF=X/2
∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∴X+60°+X/2=180°
∴X=80°
∴∠B=80°
【题8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE相等，从而证明出来。
证明：∵∠AED是△EDB的一个外角
又∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B
∴∠AED=∠C=2∠B
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=∠DAE
又∵∠AED=∠C，AD=DA
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵∠1=∠B
∴DE=BE
∴CD=BE
∵AB=AE+BE
又∵AC=AE，CD=BE
∴AB=AC+CD
【题9】解析：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC
又∵BD=DC
∴DG∥BF
∴AE∶ED=AF∶FG
∵AE=ED
∴AF=FG
∴=
∴即AF=FC
【题10】提示：证明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四点共圆。四边形EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

【题11】
证明：因为△ABC为等边三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC，
所以 ∠BAM=∠CBN ，
又因为∠CBM=∠ACN 所以∠ABM=∠BCN
在△ABM和△BCN中，有AB=BC
∠BAM=∠CBN
∠ABM=∠BCN
由三角形全等的判定ASA得
△ABM和△BCN全等
所以 AM=BN
【题12】分析： 要证明BE‖CF，只要证明∠E＝∠F；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性质可知∠E＝∠BAO﹣∠ABE，∠F＝∠CDO﹣∠DCF，因此只要证明∠BAO＝∠CDO.